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Emily
Gast
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 Emily Verfasst am: 20. Aug 2014 17:59 Titel: Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals, Feldstärke |
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Meine Frage:
Zeigen Sie, dass das Wegintegral  \, \dd \vec{x} ) über das elektrische Feld  nur vom Anfangs- und vom Endpunkt des Weges C anhängt.
Meine Ideen:
Ich hätte dies so bewiesen:
 \, \dd \vec{x}= \int_C \! \left|\vec{E} \right| \left|d\vec{x} \right| \, \cos(\alpha ) = \int_A^B \! E \cos(\alpha ) \, \dd x = E \cos(\alpha ) \left[x\right]_{B}^{A}
<br />
)
A = Anfangspunkt, B- Endpunkt.
Ich denke, dass der Beweis sinnvoll ist, nur in der Aufgabe seht noch  , also soll ich das noch irgendwie anwenden? Gibt es noch andere Beweismöglichkeit? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Aug 2014 18:36 Titel: Re: Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals, Feldstärke |
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In dem von dir betrachteten Integral ist alpha der Winkel zwischen E und dem Tangentialvektor der Kurve. Den kannst du nicht einfach aus dem Integral ziehen, da er sich ja entlang der Kurve ändern kann. Die Zerlegung  bringt dir hier nicht viel. Setze mal stattdessen nach dem ersten = die gegeben Beziehung  ein.
Dann mußt Du eigentlich nur noch verstehen, wie so ein Kurvenintegral auszuführen ist. Als Tip: Die Kurve ist ja eigentlich eine Funktion ) . Was ist dann also  und wie läßt sich eventuell zusammen mit dem Gradienten  was daraus machen?
jh8979 hat dir bei deiner Frage gestern übrigens schon den entscheidenden Hinweis gegeben. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 20. Aug 2014 18:57 Titel: |
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OK.... meine Lösung kommt gleich... muss nur eintippen |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 20. Aug 2014 19:11 Titel: |
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Ich weiß, dass:
 \, \dd \vec{x} = - \nabla \Phi (\vec{x}(t) ))
Und
 ) = \nabla \Phi (x(t),\dot{x}(t))dt= E (x(t),\dot{x}(t)))
Ein Kurvenintegral wird so ausgeführt:
 \, \dd \vec{x}=\int_A^B \! \vec{E} (x(t),\dot{x}(t))dt)
Nun entsprechend einsetzen:
 \, \dd \vec{x}= \int_A^B \! \frac{\dd }{\dd x} \Phi (\vec{x}(t) ) = \Phi (x(B))- \Phi (x(A)))
Hier sieht man, dass das Integral nur von dem Punkt A und B abhängt.
Ist das ok? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Aug 2014 19:28 Titel: |
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Also, so wie es dasteht, ergibt es noch nicht so richtig viel Sinn. Wieso steht da plötzlich , \dot x(t))) ? Und erkläre mal, am besten in Worten, was du in diesem Schritt vorhattest
| Zitat: |
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Ich bin mir nicht sicher ob du das richtige gemeint und dich nur vertippt hast, oder ob du nur Formeln ineinander einsetzen willst, die du noch nicht richtig verstehst. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 20. Aug 2014 19:52 Titel: |
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Ich habe dort einen Minus vergessen....
Ich habe so gedacht:
Hier: ) = \nabla \Phi (x(t),\dot{x}(t))dt= E (x(t),\dot{x}(t))\\) soll stall dx : dt sein, also so:
 ) = \nabla \Phi (x(t),\dot{x}(t))dt= -E (x(t),\dot{x}(t)))
Mit  )) habe ich die Ableitung der Verkettung Phi und x(t) gemeint |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Aug 2014 20:17 Titel: |
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Ok, dann hast du im wesentlichen ja das richtige gemeint. Es sieht aber immer noch etwas komisch aus. Also, bringen wir als erstes mal die Kettenregel in Ordnung. Diese geht ja "Äußere Ableitung mal mit innerer Ableitung", wobei die Bedeutung der "Multiplikation" in der Regel immer ein bißchen davon abhängt, mit welcher Art Funktion man es zu tun hat. Also links steht hier die Ableitung )) der skalaren Funktion  nach der einen Variablen  . Das Ergebnis ist wieder eine skalare Funktion. Die äußere Ableitung ist die Ableitung von nach dem Ort  , also genau der Gradient . Die innere Ableitung ist die Ableitung des Ortes nach dem Kurvenparameter, also der Tangentialvektor  . (Äußere und inner Ableitung skalar multipliziert ergibt also wieder eine skalare Funktion, wie es sein muß.) Zusammenfassend steht dann da
 ) = \vec\nabla \phi (x(t))\cdot\dot{\vec{x}}(t)= -\vec{E} (\vec{x}(t))\cdot\dot{\vec x}(t))
Bist du soweit einverstanden? Was genau kommt nun raus, wenn du diese Gleichung integrierst? (D.h. was steht dann ganz links und was ganz rechts?) Du kannst z.B. annehmen, daß die Kurve  so parametrisiert ist, daß ) und ) . |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 20. Aug 2014 20:33 Titel: |
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Ja , ja, ja, damit bin ich einverstanden....
Also links habe ich
)\right]_{B}^{A} )
und rechts
 \, \dd \vec{x})
Also das , was ich brauche |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Aug 2014 20:40 Titel: |
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Kleine Korrektur: wir integrieren jetzt über t, sagen wir von 0 bis 1, denn da steht ja nur eine Funktion von t. Das ergibt dann links:
)\dd t = \left[\Phi (\vec{x}(t))\right]_{0}^{1}= \Phi(\vec{x}(1)) - \Phi(\vec{x}(0)) = \Phi(B)-\Phi(A).)
Wenn man die Parametrisierung benutzt, die ich vorgeschlagen habe. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 20. Aug 2014 20:42 Titel: |
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OK, vielen Dank. Jetzt verstehe ich die Aufgabe.  |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Aug 2014 20:46 Titel: |
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Gern geschehen. ;-) Am Ergebnis siehst du übrigens auch leicht, daß in diesem Fall wieder das Integral über einen geschlossenen Weg null ist, denn beim Integral über die komplette Wegschleife ist A=B. |
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