Aufstellen/Auswerten einer DGL

JEPER · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Problemstellung:

Zur Untersuchung von Dichtheit wird der Druckabfall über die Zeit eines bestimmten Prüfvolumens gemessen. Formel 1 im Anhang. Q(l,pV)=Leckage

Die Leckage oder Dichtheit hängt jedoch von der Anpresskraft der Dichtung ab. (Beschrieben durch Formel 2)

Die Anpresskraft hängt jedoch wiederrum vom anliegenden Druck ab. (Beschrieben durch Formel 3)

Dieser Zusammenhang wurde in einer Formel zusammengefasst = DGL.

Nach logischer Herleitung sollte der Verlauf des Druck, der Leckage und der Anpresskraft im t-Diagramm wie aufgezeichnet ausschauen.
Dies versuche ich mathematisch herzuleiten. Jedoch ergibt die Lösung der DGL "keine Lösung" für positive t-Werte.

Meine Ideen:
Ich vermute es liegt daran, dass nicht festgehalten ist, dass der Druck nur abfallen und nicht ansteigen kann. Wie kann ich diese Bedingung berücksichtigen?
Link:
http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=34885

Danke für eure Unterstützung.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Dein Vorzeichen in (1) oder (2) ist falsch... ich hab keine Ahnung wie eure Definitionen sind, aber so wie es dasteht, heisst dass dass der Druck zunimmt, wenn Q positiv ist (was es bei Dir per Definition ist).

alex2007 · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 76

Deine Lösung hat schonmal folgendes Problem, dass für t=0, ja quasi der Ausgangsdruck erhalten werden müsste, was bei der Lösung der DGL also nicht funktioniert. Setzt man t=0, dann ergibt sich ein Term in dem ln(0) berechnet wird, was nicht definiert ist.

Da du richtig gerechnet zu haben scheinst, muss das Problem also im Ansatz liegen. Du willst also dass bei t=0, der Ausgangsdruck p0 erhalten wird. Wenn aber per Konstruktion deiner Bedingungen ln(t) irgendwo steht, wird das nur dann 0 für t=0, wenn da stattdessen ein 1-t oder 1+t steht, da ja bekanntlich der ln(1)=0.

Erkennbar ist das an der Gleichung (1). Da steht ja, dass die Dichtheit sich aus der zeitlichen Änderung von pV ergibt. Ist die Zeitänderung 0, dann ist die Dichtheit 0. Diese Gleichung müsste schonmal soweit optimiert werden, dass da entweder steht:

Sodass man sagt, am Anfang ist die Dichtheit auf 1 normiert und je nachdem wie der Druck sich ändert, ändert sich die Dichtheit.

Oder aber man sagt:

Also man hat eine Anfangsdichtheit Q_0 und addiert die Dichtheitsänderung dazu.

Jetzt ergibt sich noch die Frage des Vorzeichens, wonach man sich überlegen müsste, ob bei Druckaufbau auch die Dichheit zunimmt oder ob sie abnimmt. Dementsprechend müsste man entgegengesetzte Vorzeichen verwenden. Einen Ähnlichen Hinweis hat mein Vorredner bereits gegeben. Klär das mal ab mit den Bedingungen und korrigiere die Ausgangsformeln entsprechend.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Die Lösung ist sonst in Ordnung und auch für t=0 definiert (die Konstante K negativ und nicht Null).

Das heisst aber natürlich nicht unbedingt, dass der Ansatz an sich richtig ist, selbst mit korrigierten Vorzeichen. smile

alex2007 · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 76

Hab mir mal 3 gedanken gemacht.

Folgende Lösung:

Ausgangsgleichungen:

Die Dichtheitsänderung verhält sich wie die Druckänderung. Heißt, je undichter, desto weniger Druck:

Jetzt der Knackpunkt. Je größer die Anpresskraft, desto größer Dichtheitsänderung. Das geht nur, wenn man den Exponenten positiv wählt:

Die Anpresskraft wird kleiner, je größer der Druck ist:

Darus ergibt sich folgender Ansatz der DGL:

jetzt Variablen trennen:

Integrale aufstellen:

Und lösen:

Randbedingung einsetzen:

nach C umstellen:

Endergebnis:

Jetzt ist dein Vorzeichenproblem gelöst und du bekommst für t=0 den Anfangsdruck p0 raus, so wie man das physikalisch erwartet.
Müsste so passen.

Jeper · Gast

Ihr seid ein Traum!

JEPER · Gast

Hallo Alex,

(1) ich habe folgendes Verständnisproblem zu deiner Antwort.
Was verstehst du unter Dichtheit und Dichtheitsänderung? Für mich ist Dichtheit der Kehrwert der Leckage. Sprich ein System mit geringe Leckage hat eine sehr hohe Dichtheit.

(2) Außerdem ist deine Aussage "je größer die Anpresskraft, desto größer die Leckage/Dichtheitsänderung" meines erachtens falsch. Hohe Anpresskräft führen zu geringerer Leckage.

Mag sein, dass Problem (2) mit (1) zusammenhängt. Insofern wäre es für mich hilfreich den Begriff Leckage zu verwenden.

Danke nochmals!

JEPER · Gast

Für die Bezeichnung Leckage verwende ich das Kürzel Q(L,pV).

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

@JEPER

Deine DGL hat für positive t durchaus eine Lösung. Die DGL lautet:

mit

Sie hat die Lösung:

Es ist insbesondere, wie es sich gehört

.

Allerdings wird für genügend große Zeiten das Argument des Logarithmus negativ. Das liegt an deiner Gleichung (2). Sie führt dazu, dass man selbst bei

noch eine Leckage hat, was natürlich unsinnig ist. Wie kommst du zu dem Ansatz (2)? Ist das eine heuristische Näherung für den relevanten Zeitbereich?

Edit:
Habe gerade noch einen Fehler endeckt. Deine erste Gleichung muss

heißen. Wenn p abnimmt, ist ja

negativ. Die Leckrate soll dabei aber positiv sein. Das ändert an der obigen Lösung nichts, außer dass c sein Vorzeichen ändert. Die Lösung ist dann für alle positiven t definiert. Für genügend große t wird aber das Argument des Logarihmus größer 1. Dann wird der Logarithmus positiv und damit der Druck negativ. Das ist unverändert eine Folge deiner Gleichung (2).