Differentialgleichung für Pendel aufstellen

Karla · Gast

Hallo,

ich versuche gerade noch eine andere Aufgabe zu lösen, um die Sache mit den Differentialgleichungen zu verstehen.

Ein Mathemaisches Pendel der Länge l wird zu erzwungenen Schwingungen angeregt, in dem der Aufhängepunkt in horizontaler Richtung mit der Amplitude

und der Periodendauer T Harmonisch bewegt wird. Reibungseinflüsse machen sich nciht bemerkbar.

a) Stellen sie die Bewegungsgleichung für kleine Amplituden x_m auf!

Mit Differenzialgleichungen habe ich mich eigentlich noch nie richtig befasst. Deshalb wäre es nett, wenn mir jemand beim Herangehen an die Sache helfen könnte. Was ich bis jetzt gelesen habe ist die Bewegungsgleichung quasi die Summe aller auftretenden Kräfte. Zuerst muss man ja Auf der Linken Seite die Resultierende Kraft schreiben also

Auf die Rechte Seite müssten dann mit entsprechendem Vorzeichen die Rücktreibende Kraft. Welche ist das Genau beim Pendel? Kann ich die Einfach mit einer Skizze Ermitteln, also ist das die TangentialKomponente der Gewichtskraft? Die müsste man ja durch eine Skizze bekommen mit tan a ist rund sin a etc. Und dann noch die Eingekoppelte Kraft, da habe ich gar keine Ahnung.

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Für die einfache rücktreibende Kraft reicht tatsächlich deine Skizze aus. Bedenke zusätzlich, dass man beim mathematischen Pendel die Kleinwinkelnäherung benutzt, d.h.

setzt (in führender Ordnung abgebrochene Taylor-Entwicklung).

Du musst dir dann noch überlegen, welche zusätzliche Kraft durch die Anregung zustande kommt.

Gruß
MI

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17017

siehe auch meine Beiträge hier http://www.physikerboard.de/lhtopic,16854,0,0,asc,.html

Karla · Gast

Also gilt erst einmal:

Das sin a kann also durch x ersetzt werden. Nur wie komme ich jetzt auf die eingebrachte Kraft?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17017

Also der Winkel und die Länge sind nicht das selbe - schon aus Dimensionsgründen.

Die Kraft ist - wenn es sich um eine äußere Kraft handelt - vorgegeben; z.B. ist es die Kraft, mit der du das Pendel anstößt

Karla · Gast

Also eine Kraft ist nicht gegeben nur die Äußere Anregung:

wird zu erzwungenen Schwingungen angeregt, in dem der Aufhängepunkt in horizontaler Richtung mit der Amplitude und der Periodendauer T Harmonisch bewegt wird.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17017

Diese äußere Anregung ist doch eine Kraft (zusätzlich zur Gravitationskraft)

Karla · Gast

Ja aber das muss ich in die Formel mit rein.

Das mit er Rücktreibenden Kraft scheint auch noch nciht ganz zu stimmen. Hier mal dass, was herauskommen soll:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17017

Der Term mit den zwei Zeitableitungen ist die Kraft aufgrund der Newtonschen Gleichung F=mA; der zweite Term entspricht der Gravitationskraft; der Term rechts vom Gleichheitszeichen ist eine periodische äußere Kraft, sprich die äußere Anregung.

Was verstehst du jetzt nicht?

Karla · Gast

Ich verstehe nicht, wie man darauf kommt. Ich denke die Rückstellkraft ist -m*g*sin a. Woher kommt nun dieses g/l? Und Auf den Rechten Term weiß ich auch nicht, wie an darauf kommt.

Karla · Gast

Weiß jetzt jemand, wie ich auf die Differentialgleichung komme?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17017

Die Formulierung der Differentialgleichung erfolgt zunächst in der Variablen x; da hast du z.B. die von dir genannte Auslenkung. Die Bewegung auf einerm Kreis enthält immer den Kreisradius bzw. die Pendellänge l. Dieses l muss ja nun irgendwo auftreten.

Dann führt man aber eine Näherung für kleine Winkel durch, d.h. man entwickelt den Sinus bis zur linearen Ordnung im Winkel und erhält so eine DGL im Winkel, statt in x.

Die periodische äußere Kraft ist bei dir ja irgendwie gegeben.

Ich denke, es wäre hilfreich, wenn du die genaue Aufgabenstellung sowie deine Überlegungen und Rechnungen hier reinstellen würdest.

Karla · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17017

Also zunächst mal zum Pendel ohne äußere Kraft.

Man betrachtet die Bewegung des Pendels (mit Aufhängepunkt im Zentrum eines Kreises) entlang der Kreislinie mit Radius

. Die Auslenkung wird gemessen im Bogenmaß, d.h.

Man betrachtet das Newtonsche Gesetz

Für die Kraft setzt man die Tangentialkomponente der Gravitationskraft entlang der Kreislinie ein (die Komponenten senkrecht dazu führt nicht zu einer Beschleunigung der Bewegung)

Für die Beschleunigung als zweite Ableitung des Ortes = der Auslenkung gilt

Einsetzen liefert

bzw. entsprechend umgeformt

Soweit klar?

Karla · Gast

Ja danke das war sehr verständlich. Wie bekomme ich da nun die äußere Erregung unter?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

NB LANDAU LIFSCHITZ beschreibt in I § 5 das Beispiel eines waagerecht schwingenden Aufhängepunktes

zum mathematischen Pendel bis zur LAGRANGE Funktion, was, wenn ich richtig rechne, zu

führt; bis auf die Phase wie oben.

mfG

Karla · Gast

Könnte mir das bitte einer etwas detaillierter erklären?

Karla · Gast

Hallo,
ich habe mich gerade mal wieder damit beschäftigt, und ich komme einfach nciht drauf.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Ist LAGRANGE II bekannt?

Karla · Gast

Nein ich habe Physik auch nur als Nebenfach.