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ASIL
Gast
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 ASIL Verfasst am: 26. Mai 2014 17:32 Titel: Punktmasse auf einer Kugel |
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Meine Frage:
Eine Punktmasse m bewegt sich kräftefrei auf der Kugeloberfläche mit Radius R.
a) Leiten Sie die Lagrange-Funktion L( ) ) als Funktion der Winkel  und  in Kugelkoordinaten sowie deren Zeitableitungen her. Bestimmen Sie die zugehörigen Bewegungsgleichungen.
b) Zeigen Sie, dass es eine zyklische Koordinate gibt, und geben Sie die zugehörige Erhaltungsgröße an. Gibt es neben dieser Erhaltungsgröße und der kinetischen Energie noch weitere Erhaltungsgrößen? Wenn ja, welche? Begründen Sie ihre Antwort in Worten.
Meine Ideen:
zunächst zur a):
Ich habe noch Probleme, die Lagrange-Funktion aufzustellen. Als Zwangsbedingung hab ich mir überlegt muss gelten: x²+y²+z²=R² (da sich das Teilchen nur in Entfernung R vom Mittelpunkt bewegt), und die Umrechnung von kartesisch in Kugelkoordinaten: *sin(\gamma), y=R*sin(\varphi)*sin(\gamma), z=R*cos(\gamma)) .
Weiter gilt ja: L=T-V, mit  und V=m*g*h.
Jetzt bin ich mir nicht mehr sicher,... wie bekomme ich  in die Lagrange-Gleichung?
Meine bisherige Idee: Es gilt ja v=wxr und  . Also eventuell: 
Also insgesamt: ) . Stimmt das soweit? Bzw. wie kann ich von da weitermachen und Gamma miteinbringen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 26. Mai 2014 17:44 Titel: |
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Zunächst soll das Teilchen kräftefrei sein, d.h. der Term "mgh" fällt sicher weg.
Für die Lagrangefunktion ohne Zwangsbedingungen gilt zunächst
Nun musst du den Radiusvektor sowie dessen Zeitableitung in Kugelkoordinaten darstellen (dabei treten drei Koordinaten auf; das hat noch nichts mit der Zwangsbedingung zu tun)
Die Zwangsbedingung, die du zum o.g. L addieren musst, wäre:
)
Evtl. ist aber (in diesem Spezialfall) auch der einfache Weg zulässig: obiges L hinschreiben und die Zeitableitung von r gleich Null setzen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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| Jannick Verfasst am: 26. Mai 2014 17:49 Titel: |
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Nein das stimmt leider noch nicht. Die Lagrangefunktion von der du ausgehen sollst ist
<br />
)
Jetzt kannst du  usw. in KK. ausrechnen und einsetzen.
Z.b
 \dot{\gamma} = -R\sin(\gamma) \dot{\gamma}
<br />
)
Die zweite Gleichungen folgt daraus, dass , wenn das Teilchen auf der Kugeloberfläche bleiben soll,  gelten muss. |
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ASIL
Gast
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| ASIL Verfasst am: 26. Mai 2014 19:55 Titel: |
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wieso muss die Ableitung von R null sein? Kann ich mir das irgendwie anschaulich vorstellen?
D.h. also, wenn keine Kräfte wirken, dann ist die potentielle Energie null? Obwohl das Teilchen "Höhenenergie" besitzt?
Also, dann versuch ichs mal:
 in Kugelkoordinaten: sin(\gamma) \\ Rsin(\varphi)sin(\gamma) \\ Rcos(\gamma) \end{pmatrix} )
Daraus folgt:
sin(\gamma)+R(-sin(\varphi))sin(\gamma)\dot{\varphi}+Rcos(\varphi)cos(\gamma)\dot{\gamma} \\ \dot{R}sin(\varphi)sin(\gamma)+Rcos(\varphi)sin(\gamma)\dot{\varphi}+Rsin(\varphi)cos(\gamma)\dot{\gamma} \\ \dot{R}cos(\gamma)+R(-sin(\gamma))\dot{\gamma} \end{pmatrix} )
Jetzt kann ich erstmal alles, was mit  multipliziert wird gleich null setzen, weil ja anscheinend gilt  . Und dann quadriere ich einzeln wie Jannick gesagt hat , dann  und dann  und addiere dass dann, um es anschließend in L (Lagrange) einzusetzen. Stimmt das soweit? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 26. Mai 2014 20:25 Titel: |
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Ja, in diesem Fall stimmt das soweit.
Wenn keine Kräfte wirken, dann ist die potentielle Energie konstant (u.u.), d.h. im einfachsten Fall Null. Und das Teilchen besitzt eben gerade keine Höhenenergie.
Wenn du das Skalarprodukt für deinen Vektor berechnest, findest du die bekannte Form der kinetischen Energie (natürlich bis auf die Terme mit dR/dt, die du ja Null setzt)
Dass dR/dt = 0 ist, ist dich offensichtlich klar, denn andernfalls wäre R nicht mehr konstant und das Teilchen würde die Kugeloberfläche verlassen.
Wichtig: du musst unterscheiden, welchen der beiden Wege du einschlägst
A)
1) sofort dR/dt = 0 setzen
2) L berechnen
3) Euler-Lagrange ableiten
B)
1) Zwangsbedingung formulieren
2) L berechnen (wobei dR/dt nicht Null gesetzt wird)
3) Euler-Lagrange ableiten
4) daraus muss u.a. auch dar/dt = 0 folgen
(A) und (B) sind nicht zwingend äquivalent
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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ASIL
Gast
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| ASIL Verfasst am: 26. Mai 2014 23:40 Titel: |
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Okay, vielen Dank schon mal für die Hilfe bisher!
Ich entscheide mich für den Weg (A), da wir es bisher immer so gemacht haben.
Nach ewiger Rechnung bin ich jetzt soweit:
+\dot{\gamma}^2)) , also in Lagrange eingesetzt: +\dot{\gamma}^2))
Ist das jetzt schon die gesuchte Funktion (Lagrange-Funktion als Funktion der Winkel gamma und phi)? Wenn ja, fehlt mir ja "nur noch" die Zeitableitung und die Bewegungsgleichungen zur a).
Die Ableitung nach der Zeit wäre ja dann:
+mR^22\dot{\varphi}\ddot{\varphi}sin(\gamma)+\frac{1}{2}mR^2\dot{\varphi}^2cos(\gamma)+2R\dot{\gamma}^2+2\ddot{\gamma}R^2) . Stimmt das noch soweit? Bin mir bei der Ableitung sehr unsicher. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2014 00:08 Titel: |
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Fast
)
Aber dL/dt benötigst du weder für die Bewegungsgleichungen noch für die Erhaltungsgrößen.
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ASIL
Gast
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| ASIL Verfasst am: 27. Mai 2014 12:05 Titel: |
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Muss ich jetzt nicht dL/dt bilden um dann den Lagrange-Formalismus aufstellen zu können? Leite ich dann bei dem Formalismus nach Phi oder nach Gamma ab? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2014 12:12 Titel: |
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Siehe hier die ersten beiden Geichungen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Formalismus
Da wird kein dL/dt benötigt
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ASIL
Gast
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| ASIL Verfasst am: 27. Mai 2014 14:37 Titel: |
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Okay, ich dachte eventuell es geht auch wenn ich dann das  noch nach  ableite....
Gut dann leite ich jetzt zuerst nach ab. die Frage ist aber noch, ist hier das  oder das  mein ? Oder muss ich eventuell einzeln beides als betrachten (und bekomme damit dann zwei Bewegungsgleichungen...)? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2014 14:50 Titel: |
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| ASIL hat Folgendes geschrieben: | | Gut dann leite ich jetzt zuerst nach ab. |
genau
| ASIL hat Folgendes geschrieben: | | Oder muss ich eventuell einzeln beides als betrachten (und bekomme damit dann zwei Bewegungsgleichungen...)? |
genau; mach dir das doch mal anhand eines freien Teilchens in der Ebene mit kartesischen Koordinaten (x,y) klar
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