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lurcker
Anmeldungsdatum: 14.03.2014
Beiträge: 3
Wohnort: Deutschland
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 lurcker Verfasst am: 14. März 2014 13:35 Titel: Bungeespringer an Seil |
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Hallo,
ich mache gerade Aufgaben für meine Klausur durch und hätte ein paar Fragen.
Meine Ansätze:
a)
E_kin = E_pot, nach v auflösen. Kein Problem
b)
E_kin = E_pot + Eseil
E_kin = 1/2 * m * v²
E_pot = m*g*h = m*g* (5m + x)
E_seil = 1/2 * D * x²
So weit, so gut
In der Lösung ist E_seil mit einem negativen Vorzeichen versehen. Warum ist das so?
Es heißt also:
1/2*m*v² = m*g*(5m + x) + (- 1/2 * D * x²)
Danach wird abgeleitet und zwar nach d/dx.
d/dx Ekin = m*g - D*x = 0
Es steht dabei:
maximale Geschwindigkeit bei maximaler kinetischer Energie.
Warum ist das so? Warum leitet man da ab?
Viele Grüße
| Beschreibung: |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. März 2014 15:38 Titel: |
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Hallo und  hier im Forum!
| lurcker hat Folgendes geschrieben: |
a)
E_kin = E_pot, nach v auflösen. Kein Problem |
OK, einverstanden! Wichtig ist aber, dass man hier auch wirklich ganz klar ist, was welche Energie in welchem Koordinatensystem und zu welchem Zeitpunkt ist.
Hier ist wohl die linke Seite die Energiebilanz in dem Moment, wenn das Seil gerade gezogen ist ohne dass es gespannt wurde (bis jetzt) und die rechte Seite ganz am Anfang, wenn der Springer gerade los springt (oder auch kurz davor). Dabei hat man sich aber auch auf ein Koordinatensystem geeinigt: Der Springer ist vor dem Absprung in Ruhe, hat also keine kinetische Energie, und nach den 5m Fallhöhe hat er keine potentielle Energie, also muss dort h=0 sein. Richtig? Außerdem muss die h-Achse offenbar nach oben zeigen.
Soweit alles klar und richtig. Man muss sich diesen Implikationen nur immer bewusst sein, denke ich.
| lurcker hat Folgendes geschrieben: | b)
E_kin = E_pot + Eseil |
Hier weiß ich jetzt schon gar nicht mehr, wo Du Deine Koordinatensystem Dir gedacht hast und zu welchen Zeitpunkten welche Bilanz sein soll.
Ich würde das so versuchen:
Zeitpunkt 1 ist ganz am Anfang, wenn h=5m ist und v=0. Zeitpunkt 2 wäre dann der Zeitpunkt, bei dem h=0 ist und das Seil gerade noch nicht gedehnt ist, also das, was Du in der Teilaufgabe a) ja angenommen hast. Zeitpunkt 3 wäre, wenn h unter dem Null-Niveau ist und damit das Seil schon um eine Strecke gedehnt wurde. Dann kann man noch Zeitpunkt 4 betrachten, wenn das Seil maximal gedehnt ist und damit dann die Geschwindigkeit v=0 ist, also am tiefsten Punkt.
Was ist zu den einzelnen Zeitpunkten mit den einzelnen Energieformen, bzw. wie verteilt sich die Gesamtenergie auf diese?
Die Summe ist ja zu allen Zeitpunkten:
Wobei der Hooke-Anteil, also die Energie in der Spannung des Seils, streng genommen auch eine Form der potentiellen Energie ist, aber das ist wieder ein anderes Thema.
Du hast schon richtig auch die Formeln für diese Energieformen aufgeschrieben:
Huch, warum steht jetzt bei der Feder plötzlich kein x sondern h? Wir haben ja die Koordinate h schon eingeführt und die Feder spannt sich gerade um die Strecke x = -h. Da das x aber quadriert wird, spielt das Vorzeichen hier keine Rolle, deshalb sollte das so stimmen. Einverstanden?
Außerdem ist bei h>0 das Seil noch gar nicht gespannt, so dass auch keine Energie darin aufgenommen wurde, deshalb die Fallunterscheidung.
Zeitpunkt 1: Geschwindigkeit v1=0 bedeutet, dass die kinetische Energie auch 0 ist. Allerdings ist h1=5m, also haben wir potentielle Energie. Die Spannenergie ist allerdings auch 0, weil h1>0 ist, also ist die Energie zum Zeitpunkt 1 gerade gleich der potentiellen Energie und da wir die Höhe gegeben haben, wissen wir da auch schon recht viel drüber.
Also haben wir als Gesamtenergie:
Zeitpunkt 2: Jetzt ist h2=0 dafür haben wir eine Geschwindigkeit v. Da h=0 haben wir keine potentielle Energie und auch keine Spannenergie, also ist die Gesamtenergie:
Zeitpunkt 3: Das ist jetzt der komplizierteste. Jetzt haben wir alle drei Energieformen, doch Vorsicht!: h3 ist negativ, so dass die Lageenergie auch negativ wird. Das ist übrigens für die potentielle Energie an sich kein Problem. Sie hängt davon ab, wie ich das Koordinatensystem definiere und kann ohne Probleme auch mal negativ werden. Da bei der kinetischen Energie die Geschwindigkeit im Quadrat drin vorkommt, kann die so nicht negativ werden, aber auch die hängt vom Koordinatensystem ab, wenn ich nämlich ein anders bewegtes hätte. Aber ich will Dich hier jetzt nicht unnötig verwirren, ist jetzt nicht so wichtig.
Auf jeden Fall haben wir dann als Gesamtenergie zum Zeitpunkt 3:
Zeitpunkt 4 ist dann wieder leichter, weil v = 0 ist und deshalb die kinetische Energie weg fällt. Gesamtenergie:
Hast Du das Prinzip so weit verstanden?
Da wir keine Reibung oder so haben, soll die Energie über die ganze Zeit erhalten bleiben, also kannst Du die Gesamtenergie zu jedem Zeitpunkt gleich der Gesamtenergie zu einem anderen Zeitpunkt setzen.
Für die a) setzen wir 
für die b) setzen wir  , also:
Wenn wir das nach v3 auflösen:
 - \frac{Dh_3^2}{m})
In der Musterlösung ist das h jetzt aber wieder anders definiert worden, nämlich offenbar als h1 - h3, sprich die bis zum Zeitpunkt 3 erreichte Fallhöhe (bzw. -tiefe...). Offenbar ist auch in der a) das h die Fallhöhe, so dass sie von einer Energie von 0 ausgehen zu beginn, aber die h-Achse nach unten zeigen lassen. Ich finde eher erst einmal verwirrend.
Hast Du das so verstanden, wie ich das jetzt gemacht habe?
Jetzt mit der Ableitung: ganz einfach: Du suchst ja nach einem Maximum der Geschwindigkeit. Extrempunkte findest Du ja immer, indem Du Nullstellen der Ableitung bestimmst.
Gruß
Marco
PS: Um den Punkt der höchsten Geschwindigkeit auszurechnen, würde ich mir das Leben aber viel einfacher machen: Zu diesem Zeitpunkt wird ja offenbar nicht mehr beschleunigt werden, also muss sich der Körper im Kräftegleichgewicht befinden. Das ist genau dann der Fall, wenn die Federkraft gleich der Gewichtskraft ist...
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. März 2014 15:45 Titel: |
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| lurcker hat Folgendes geschrieben: | | In der Lösung ist E_seil mit einem negativen Vorzeichen versehen. Warum ist das so? |
Energieerhaltungssatz:
Die gesamte potentielle Energie(differenz) von der Ausgangshöhe bis zur Höhe, an der die Geschwindigkeit maximal ist, wird in kinetische Energie und Spannenergie des Seils umgewandelt.
^2)
Dabei ist x der laut Aufgabenstellung gesuchte gesamte Fallweg bis zum Erreichen der Maximalgeschwindigkeit und s der freie Fallweg von 5m. In Deiner Lösung ist x nur der Seildehnungsweg, zu dem zur Beantwortung der Frage b) noch der freie Fallweg von 5m addiert werden muss. Ich persönlich finde aber die Gleichung besser, die mir gleich die gesuchte Größe (den gesamten Fallweg) liefert.
Wenn Du obige Gleichung des Energieerhaltungssatzes nach der kinetischen Energie umstellst, ergibt sich automatisch das von Dir angezweifelte Minuszeichen.
| lurcker hat Folgendes geschrieben: | Es steht dabei:
maximale Geschwindigkeit bei maximaler kinetischer Energie.
Warum ist das so? |
Das ist eine komische Frage. Es ist doch
Je größer die Geschwindigkeit, desto größer ist die kinetische Energie. Oder umgekehrt: Je größer die kinetische Energie, desto größer ist offenbar die Geschwindigkeit (konstante Masse m vorausgesetzt). Wenn die durch den Energieerhaltungssatz vorgegebene maximale Energie erreicht ist, muss offenbar auch die Geschwindigkeit maximal sein.
| lurcker hat Folgendes geschrieben: | | Warum leitet man da ab? |
Die kinetische Energie (deren Maximum Du ja bestimmen willst), ist laut obigem Energieerhaltungssatzes eine Funktion von x. Du musst also zunächst das x bestimmen, das die kinetische Energie maximal werden lässt. Das ist eine klassische aus der Schule bekannte "Minimax"-Aufgabe: Die Ableitung nach der Variablen (hier x) muss Null gesetzt werden.
Du hättest natürlich auch die Energiegleichung nach v auflösen und dann nach x ableiten können. Das ist deutlich schwieriger, führt aber zu demselben Ergebnis. Mach das mal, dann siehst Du's selber.
Am einfachsten ist natürlich der von as_string zuletzt genannte Ansatz, den auch ich bevorzugt hätte. Ich wollte allerdings Deine konkreten Fragen beantworten, die von einem ganz anderen Ansatz ausgingen.
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lurcker
Anmeldungsdatum: 14.03.2014
Beiträge: 3
Wohnort: Deutschland
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| lurcker Verfasst am: 14. März 2014 23:20 Titel: |
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Hallo,
vielen Dank für die ausführlichen Antworten. Sowas findet man in wenigen Foren!
In Zukunft werde ich auch Latex verwenden und euch mit mehr Fragen löchern, wenn ich darf. 
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