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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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 Marko Verfasst am: 15. Jan 2014 20:16 Titel: Gravitationsfeld Halbkugel |
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Ich möchte die Gravitationskraft ausrechnen, die ein homogener Halbkreis der Masse M auf eine Punktmasse m im Zentrum des Halbkreises ausübt.
Die gesamte Gravitationskraft ergibt sich aus der Integration über alle Kraftelemente  , die jedes Massenelement  des Halbkreises auf die Punktmasse m ausübt. Dazu habe ich mir folgende Rechnung in Polarkoordinaten überlegt.
=\int d\vec{f}(\vec{r}))
)
 \\ sin(\varphi)\end{pmatrix}d\varphi)
Mit der x-Komponente bin ich zufrieden, hier ist aus Symmetriegründen klar, dass die resultierende Gesamtkraft 0 ist.
Die y-Komponente kommt mir aber sehr niedrig vor.
Dazu habe ich mir überlegt, dass jede y-Komponente aufsummiert -da die Massenelemente infinitesimal dünn sind gibt es unendlich viele y-Komponenten- der Flächeninhalt des Halbkreises ist.
Außerdem habe ich versucht die Potenzielle Energie des Halbkreises zu bestimmen um dann über den Gradienten die Kraft auszurechnen.
)
Hier sieht es jetzt wieder aus als verhielte sich alles so wie wenn die Masse im Schwerpunkt verreinigt wäre.
Durch bilden des Gradienten komme ich dann auf  also die Standartform. Was mich zu der allgemeinen Frage bringt wie man aus dem Gradienten die Richtung der Kraft bekommen soll. Egal auf welche potenzielle Energie ich den Gradienten anwende bekomme ich immer den Einheitsvektor  .
Kann mir jemand helfen und mir sagen was von meinen Gedanken bzw. Rechnungen richtig und was falsch ist? |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 16. Jan 2014 00:00 Titel: |
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Ehrlich gesagt ist mir nicht klar, was du da rechnest. Aber zuerst nochmal zur Aufgabe selbst: sitzt die Punktmasse wirklich im Zentrum des Halbkreises (das müsste man ja erst mal definieren) oder im Kreismittelpunkt (wenn man den Halbkreis zum Kreis vervollständigen würde)? |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 16. Jan 2014 06:59 Titel: |
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Im Kreismittelpunkt wenn man den Halbkreis zum Kreis vervollständigen würde. |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 16. Jan 2014 13:24 Titel: |
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Was bezeichnest du in deiner Rechnung mir r? Den Radius des Halbkreises oder den Abstand eines Massenelements des Halbkreises von dessen Mittelpunkt?
Schreib doch am besten erst nochmal hin, welchen Ausdruck du für ein Kraftelement angesetzt hast. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 16. Jan 2014 14:12 Titel: Re: Gravitationsfeld Halbkugel |
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r ist der Radius des Halbkreises und damit auch der Abstand der Punktmasse m zu jedem Massenelement dm.
Jedes Massenelement dM übt eine Gravitationskraft auf die Punktmasse m aus. Die Gravitationskraft jedes Massenelements dM auf die Punktmasse m unterscheidet sich nur durch die Richtung, ausgedrückt durch den rho-Einheitsvektor der Polarkoordinaten. Daher ergibt sich die Gesamtkraft aus der Integration über den Einheitsvektor von 0 bis Pi.
=-G\frac{mM}{r^2}\int \vec{e_\rho}(\varphi))
\Edit: Falls es für überischtlicher erachtet wird kann die Variable r auch durch
 ersetzt werden oder umgekehrt. |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 16. Jan 2014 15:12 Titel: Re: Gravitationsfeld Halbkugel |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | | r ist der Radius des Halbkreises und damit auch der Abstand der Punktmasse m zu jedem Massenelement dm. |
Ach, es sitzen also nur Massenelemente auf dem Rand des Halbkreises?
Zuerst mal zu dem Kraftelement: Du willst also die Kraft bestimmen, die ein Massenelement der Masse  auf die Punktmasse  ausübt. Wenn alle Massenelemente auf dem Halbkreis liegen, haben sie den Abstand  von . Dann sieht von jedem Massenelement die Kraft:
Nun sollte man sich Gedanken machen, was ist. Dies würde ich durch eine Liniendichte  ausdrücken, also mit der Einheit kg/m:
Hierbei ist  ein Linienelement auf dem Halbkreis und  bestimmt sich einfach über die Masse des Halbkreises geteilt durch dessen Länge:
Jetzt kannst du die Gesamtkraft durch Integration bestimmen:
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 16. Jan 2014 17:04 Titel: Re: Gravitationsfeld Halbkugel |
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| Sirius hat Folgendes geschrieben: | | Ach, es sitzen also nur Massenelemente auf dem Rand des Halbkreises? |
Ja, was, für die Gravitation relevantes, könnte denn noch auf dem Halbkreis sitzen?
| Sirius hat Folgendes geschrieben: | |
Ich bin mir nicht sicher aber müsste es nicht heißen
 ? |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 16. Jan 2014 17:20 Titel: Re: Gravitationsfeld Halbkugel |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Sirius hat Folgendes geschrieben: | | Ja, was, für die Gravitation relevantes, könnte denn noch auf dem Halbkreis sitzen? |
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Ich dachte zuerst, man betrachtet eine halbe, infinitesimal dünne Kreisscheibe.
| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Sirius hat Folgendes geschrieben: | Ich bin mir nicht sicher aber müsste es nicht heißen
? |
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Nein, weil  von  abhängt:
Außerdem muss am Ende ja eine Kraft rauskommen, deren Wert du durch Einsetzen der einzelnen Werte berechnen könntest. Wenn aber ein am Ende übrig ist, hast du auf einmal eine Winkelabhängigkeit, obwohl die Geometrie hier von vorne herein fest vorgegeben ist. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 16. Jan 2014 17:53 Titel: Re: Gravitationsfeld Halbkugel |
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| Sirius hat Folgendes geschrieben: | | Nein, weil von abhängt: |
Natürlich.
Habe bei meinem anfänglichen Ansatz einfach das  vergessen, was mir anschaulich auch einigermaßen klar ist.
=-G\frac{m}{r^2}\int \frac{M}{\pi}\vec{e_\rho}(\varphi))
Mit dem Gradienten probiere ich selbst nochmal ein bisschen.
Vielen Dank. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 16. Jan 2014 18:39 Titel: |
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Ich denke jetzt auch zu wissen wo mein Fehler beim Weg über die Potenzielle Energie war.
Möchte ich jedem Massenelement dm auf dem Halbkreis eine Potenzielle Energie zuteilen müsste ich ein Skalarfeld bekommen das in etwa so aussieht:
)=-G\frac{Mm}{\pi R(\varphi)})
wobei gilt 
Der Radius R ist ein Skalar uns somit nicht von abhängig ich kann ihn aber auch nicht zu eine Vektor machen, da dann die Potenzielle Energie auch zu einem Vektor wird.
)=-G\frac{Mm}{\pi \vec{R}(\varphi)\cdot\vec{e_r}})
Wäre soetwas zulässig?
kann mir dabei jemand helfen das korrekt zu formulieren? |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 16. Jan 2014 20:47 Titel: |
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Also eine potentielle Energie hat ein Teilchen ja nur, wenn es sich in einem Potentialfeld anderer Teilchen befindet. Wenn du also sagst, dass du jedem Massenelement auf dem Halbkreis eine potentielle Energie zuordnen willst, so musst du quasi den Einfluss aller anderen Massenelemente auf dem Halbkreis berücksichtigen. Angenommen du betrachtest ein Teilchen der Masse  am Ort  auf dem Halbkreis, dann wäre die potentielle Energie des Teilchens i:
}=-GM_i\sum\limits_{j\neq i}\frac{\dd M_j}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|})
Das lässt sich aber nicht so einfach integrieren, da du die Abstände des i-ten Teilchens zu allen anderen Teilchen auf dem Halbkreis im Intergral stehen hast.
Ich weiß nicht, ob du nicht eigentlich die potentielle Energie der Punktmasse im Zentrum berechnen willst? Das geht analog zur Kraft:
Das ist jetzt aber einfach eine Zahl, d.h. keine Funktion mehr von irgendwas (R ist ja der feste Radius). Wenn du davon den Gradienten bildest, bekommst du also Null raus. Die potentielle Energie allein hat übrigens nur eine echte Bedeutung, wenn man Energiedifferenzen betrachtet. Der Wert allein sagt nichts aus, weil man immer eine beliebige Konstante addieren darf.
Ich glaube, dass das Hauptproblem deine Notation ist, da gerät einiges durcheinander. Was soll z.B.
| Marko hat Folgendes geschrieben: | | |
bedeuten? Auch dein Integral
| Marko hat Folgendes geschrieben: | |
ist in der Art nicht definiert, weil man nicht weiß, nach was nun integriert werden soll. Am besten du machst dir immer zuerst eine Skizze, in der du alle Größen, die du verwenden willst, einträgst und dir dabei klar machst, was sie genau bedeuten, also was z.B. Konstanten und was Variablen sind. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 16. Jan 2014 22:02 Titel: |
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| Sirius hat Folgendes geschrieben: | Auch dein Integral
| Marko hat Folgendes geschrieben: | |
ist in der Art nicht definiert, weil man nicht weiß, nach was nun integriert werden soll. |
Du hast völlig recht, was ich geschrieben habe ist Schwachsinn, es muss heißen
=-G\frac{m}{r^2}\int \frac{M}{\pi}\vec{e_\rho}(\varphi)d\varphi) ,
schöner wäre wohl
=-G\frac{mM}{\pi r^2}\int_0^{\pi} \vec{e_r}d\varphi) .
Meine Notation ist wirklich schlecht.
Zur Potentiellen Energie:
| Sirius hat Folgendes geschrieben: | | Ich weiß nicht, ob du nicht eigentlich die potentielle Energie der Punktmasse im Zentrum berechnen willst? |
Richtig.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: | Das geht analog zur Kraft:
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Verstehe ich es richtig, dass sich hier, im Beispiel des Halbkreises, die Form der Masse M nicht auf die potentielle Energie der Punktmasse m auswirkt, da jedes Massenelement dM den gleichen Abstand r zur Punktmasse m hat?
Die potentielle Energie der Punktmasse m gegenüber der Masse M ist also gleich, unabhängig davon ob die Masse M die Form eines Halbkreises oder eines Massenpunktes hat?
| Sirius hat Folgendes geschrieben: | | Das ist jetzt aber einfach eine Zahl, d.h. keine Funktion mehr von irgendwas (R ist ja der feste Radius). Wenn du davon den Gradienten bildest, bekommst du also Null raus. |
Ok, dann habe ich das mit dem Gradienten und der Gravitationskraft nicht verstanden. Im Allgemeinen höre ich immer, oder bilde mir zumindest ein es zu hören "Die Gravitationskraft ist der negative Gradient der Potentiellen Energie".
Wäre die potentielle Energie nun ein Skalarfeld sähe das besser aus.
Kannst du mir da weiterhelfen? |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 16. Jan 2014 22:17 Titel: |
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Bilde ich den Gradienten auf den allgemeinen Ausdurck der potentiellen Energie bekomme ich ein Ergebnis.
=-\nabla Epot)
=-\nabla (-G\frac{mM}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}))
=-2G\frac{mM}{r^2}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix})
Das Ergebnis scheint mir aber unbrauchbar.
Macht es hier nur Sinn den Gradienten in Kugelkoordinaten zu bilden? |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 16. Jan 2014 23:34 Titel: |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Verstehe ich es richtig, dass sich hier, im Beispiel des Halbkreises, die Form der Masse M nicht auf die potentielle Energie der Punktmasse m auswirkt, da jedes Massenelement dM den gleichen Abstand r zur Punktmasse m hat? |
Genau.
| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Die potentielle Energie der Punktmasse m gegenüber der Masse M ist also gleich, unabhängig davon ob die Masse M die Form eines Halbkreises oder eines Massenpunktes hat? |
In diesem Spezialfall hier schon, aber auch nur, wenn M dann den Abstand R zu m hat.
| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Ok, dann habe ich das mit dem Gradienten und der Gravitationskraft nicht verstanden. Im Allgemeinen höre ich immer, oder bilde mir zumindest ein es zu hören "Die Gravitationskraft ist der negative Gradient der Potentiellen Energie". |
Das stimmt auch, nur dass du das Potential eben als Skalarfeld brauchst. Die Gravitationskraft am Ort  entspricht dem neg. Gradienten des Gravitationspotentials am Ort . Konkrete Orte kannst du natürlich erst nach der Berechnung einsetzen.
| Marko hat Folgendes geschrieben: |
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Da ist dir ein Fehler beim Ableiten des Bruchs mit der Wurzel im Nenner passiert. Rauskommen sollte:
=-GmM\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}=-GmM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}=-\frac{GmM}{r^2}\,\vec{e}_r)
Also die Gravitationskraft.
Du hast natürlich recht, dass hier Nabla in Kugelkoordinaten deutlich geschickter ist, weil dann nur die partielle Ableitung nach r auszurechnen ist. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 19. Jan 2014 16:02 Titel: |
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Ich bin mir nicht sicher wie die Richtung der, durch bilden des Gradienten auf die potentielle Energie, entstehenden Kraft zu interpretieren ist.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: | |
Die Kraft hat die Richtung
 .
Der Einheitsvektor weißt dabei von einem Massenpunkt auf einen anderen.
Wende ich den Gradienten nun auf die potentielle Energie, die wir für den Massepunkt aus unserem Beispiel bestimmt haben, an, bekomme ich den Standartausdruck der Gravitationskraft und nicht das von uns durch Integration bestimmte Ergebnis.
Kann man die Kraft nur über den Gradienten bestimmen wenn man von Massepunkten ausgeht? |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 19. Jan 2014 20:15 Titel: |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | Ich bin mir nicht sicher wie die Richtung der, durch bilden des Gradienten auf die potentielle Energie, entstehenden Kraft zu interpretieren ist.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: | |
Die Kraft hat die Richtung
.
Der Einheitsvektor weißt dabei von einem Massenpunkt auf einen anderen.
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Das ist ziemlich schwammig formuliert.
Der Ausdruck
=-\frac{GmM}{r})
bezeichnet die potentielle Energie einer Masse m im Gravitationsfeld einer Masse M (wenn r der Abstand von m zu M und r=0 der Ort von M ist). Die Kraft, die auf m wirkt, bestimmt sich durch den neg. Gradienten und ist somit parallel zu diesem:
=-\nabla E_\mathrm{pot}(\vec{r})\quad\Rightarrow\quad\vec{F}\parallel -\vec{e}_r)
Die Kraft auf m ist also in Richtung M gerichtet.
Wenn du den Gradienten auf unseren Ausdruck für die potentielle Energie der Masse m im Zentrum des Halbkreises anwendest, bekommst du trivialerweise Null, da R=const:
=-\operatorname{grad}E_\mathrm{pot}(\vec{r}=0)=0)
Wir haben damals ja die potentielle Energie für eine feste Konfiguration berechnet und nicht für einen Variablen Ort von m. Wir haben also kein Skalarfeld, sondern nur eine Zahl aus diesem, nämlich den Wert für eben jene betrachtete Konstellation. Hätten wir damals die potentielle Energie für einen beliebigen Ort von m berechnet, dann könnten wir auch für jeden dieser Orte durch Bilden des Gradienten die Kraft berechnen. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 22. Jan 2014 10:04 Titel: |
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Vielen Dank nochmal.
Mir ist einiges klarer geworden. |
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