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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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 planck1858 Verfasst am: 26. Dez 2013 23:47 Titel: Bogenlänge bestimmen |
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Hi,
ich möchte die Bogenlänge folgender Bahnkurve bestimmen.
=\begin{pmatrix} v_0 \cdot t \\ h-\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \end{pmatrix})
Mein Vorgehen:
=\begin{pmatrix} v_0 \\ -g \cdot t\end{pmatrix})
^2})
=\int_0^t \! \sqrt{v_0^2+(-g \cdot t')^2} \, \dd t')
Wäre dies soweit korrekt, nun müsste ich doch das Integral lösen um die Bogenlänge s angeben zu können.
Mir bereitet das Integral aber Probleme. Ich komme einfach nicht auf die vorgegebene Lösung.
)}{4g})
mit
)
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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 27. Dez 2013 00:39 Titel: |
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Schau mal genau auf den Ausdruck dr/dt und dann auf das was du als dr/dt aufgeschrieben hast.
Tipp: Du hast das wesentliche vergessen. |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 27. Dez 2013 00:40 Titel: |
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| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | Schau mal genau auf den Ausdruck dr/dt und dann auf das was du als dr/dt aufgeschrieben hast.
Tipp: Du hast das wesentliche vergessen. |
LOL ist schon spät, hätte ich mal genauer hingeschaut  (dachte du hättest schlicht das differenzieren vergessen ) |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 27. Dez 2013 00:49 Titel: |
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Soo, bevor ich jetzt alles zu spamme (ein Mod darf gerne meine vorherigen Beträge löschen) mein letzter Beitrag zum Thema:
Schreib doch mal deinen Rechenweg auf!
Wie lautet denn deine Stammfunktion z.B. von sqrt(v0² + g²t²)?
Welche Grenzen setzt du beim Integral ein? |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 27. Dez 2013 00:52 Titel: |
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Die Integralgrenzen habe ich doch schon angegeben. Von 0 bis t. Ist das falsch?
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 27. Dez 2013 01:53 Titel: |
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Die Kurve beschreibt eine Parabel eines Waagerechten Wurfs aus der Höhe h. In der Lösung kommt keine Zeit t mehr vor, hast du uns vielleicht etwas vorenthalten, wie zB. das die Bogenlänge bis zum Aufschlag bei y = 0 gefragt ist? Dann wäre die entsprechende Zeit zunächst zu berechnen und anstelle von t einzusetzen.
Beim Integral würde ich spontan eine die Substitution sinh y = gx durchführen und gebrauch von der Regel cosh^2 y = 1 + sinh^2 y machen, das sollte auch direkt Zielführend sein. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 27. Dez 2013 16:03 Titel: |
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Hier mal die originale Aufgabenstellung.
Von der Spitze eines Turmes wird ein Ball in horizontaler Richtung geworfen. Die Bahnkurve als Funktion der Zeit ist dann wie folgt gegebenen.
Berechnen Sie die Länge der Flugbahn, bis der Ball am Boden aufprallt.
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 27. Dez 2013 16:05 Titel: |
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Also im Grunde das was ich vermutet habe und somit sollten meine Ansätze um Ziel führen. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 27. Dez 2013 16:35 Titel: |
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Aber wenn ich den Ausdruck für t einsetze, nach welcher Variablen muss ich denn dann ableiten?
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 27. Dez 2013 17:32 Titel: |
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Also bis zu dem Punkt
=\int_0^t \! \sqrt{v_0^2+(g \cdot t')^2} \, \dd t')
hast du alles korrekt gemacht
Auch die Untergrenze t' = 0 ist nach Aufgabenstellung richtig gewählt, da sich der Ball für t' = 0 am Punkt r(t' = 0 ) = (0, h) befindet, also auf dem Turm.
Es ist also nur noch der Zeitpunkt t' = t an dem der Ball aufschlägt zu bestimmen, dh. r(t' = t) = (vt, 0).
Dieses t ist dann als Obergrenze zu wählen. Dann ist nur noch das Integral zu berechnen. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 27. Dez 2013 18:09 Titel: |
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Die Zeit, bis der Ball auftrifft, ergibt sich mithilfe des Energieerhaltungssatzes zu:
Setzt man dies nun in das Integral ein, so folgt:
=\int_0^{\sqrt{2gh}} \! \sqrt{v_0^2+(-g \cdot t')^2} \, \dd t')
Um das Integral zu lösen würde ich die Substitution anwenden.
^2)
Soweit okay?
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Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 27. Dez 2013 22:04, insgesamt einmal bearbeitet |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 27. Dez 2013 19:48 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: |
Soweit okay? |
Okay ist das, was dich voran bringt. Hat dich deine Substitution weiter gebracht?
…wende doch mal meinen Substitutionsvorschlag, den ich oben gemacht habe, an. |
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Wiktoria
Gast
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| Wiktoria Verfasst am: 27. Dez 2013 19:48 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | Die Zeit, bis der Ball auftrifft, ergibt sich mithilfe des Energieerhaltungssatzes zu:
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Versuch es mal ohne Energieerhaltungssatz: vieleicht ergibt sich dann etws Gescheites. |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 27. Dez 2013 19:50 Titel: |
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Oh, das eine Geschwindigkeit und keine Zeit berechnet wurde habe ich gar nicht beachtet ^^ |
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hangman
Anmeldungsdatum: 07.02.2011
Beiträge: 319
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| hangman Verfasst am: 27. Dez 2013 21:17 Titel: |
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Versuch es mal mit der Standardsubstitution ) oder )
Besten Gruß!
Zuletzt bearbeitet von hangman am 27. Dez 2013 23:02, insgesamt einmal bearbeitet |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 27. Dez 2013 22:15 Titel: |
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Sorry, es muss natürlich für den Ausdruck für die Zeit heißen:
Und diesen Ausdruck setzt man dann als obere Intervallgrenze für's Integral ein.
=\int_0^{\sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}} \! \sqrt{v_0^2+(-g \cdot t')^2} \, \dd t')
@hangman,
wie kommt man denn auf diese Standartsubstitutionen?
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hangman
Anmeldungsdatum: 07.02.2011
Beiträge: 319
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 28. Dez 2013 11:46 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | | wie kommt man denn auf diese Standartsubstitutionen? |
Wie ich drauf kam:
Wurzeln in ähnlicher Form integriert man häufig mit der Substitution durch Sinus oder Kosinus. In diesem Fall hat es aber nicht so schön funktioniert und da in der Lösung schon ein Sinus-Hyperbolicus vor kam, war es Naheliegend sinh oder cosh einzubringen.
Im Grunde sollte man also ein paar Substitutionen im Kopf haben. |
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