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Nachricht |
Lernender7
Gast
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 Lernender7 Verfasst am: 18. Dez 2013 14:28 Titel: Bahnkurve, Bogenlänge |
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Hallo Leute
Ich habe eine Bahnkurve gegeben:
} = \frac{1}{2} e^t \begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} mit\ t \in \mathbb{R}\ und\ \vec{r(t)} \in \mathbb{R}^3)
Nun soll ich in einer Teilaufgabe zeigen, dass diese Bahnkurve auf dem Kegel
 liegt.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich die Aufgabe richtig angehe?
Ich dachte daran, die Parameterdarstellung in kartesische Koordinaten umzuwandeln, und dann die beiden Gleichungen nach x,y oder z aufzulösen und gleichzusetzen.
Aber ich bin mir nicht sicher.
Danke für Eure Hilfe |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 18. Dez 2013 14:33 Titel: |
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Im Prinzip hast Du doch schon x(t), y(t) und z(t) mit der Vektorgleichung gegeben. Wenn Du die in die zweite einfach mal einsetzt und dann zeigen kannst, dass sie für jedes t erfüllt ist, dann müsste das doch schon ausreichend sein, oder?
Gruß
Marco
PS: Was meinst Du mit "die Parameterdarstellung in kartesische Koordinaten umzuwandeln"? Das sind doch schon kartesische Koordinaten. Oder meinst Du gerade das, was ich oben geschrieben hatte? |
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Lernender7
Gast
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| Lernender7 Verfasst am: 18. Dez 2013 14:42 Titel: |
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Wow, megaschnelle Antwort, danke!
Ich dachte so, dass ich bei x(t), y(t) und z(t) das t eliminiere, um dann eine Gleichung mit x, y und z zu haben. Aber weiß nicht genau, ob das funktioniert.
Ich mache also folgendes:
^2 + 2* sin(t)^2 - 2=0)
Dann erhalte ich:
^2 + sin(t)^2=1)
Und diese gleichung muss für alle t aus IR erfüllt sein?
Wie zeige ich das denn?
Ist die Aufgabe somit erfüllt, wenn ich das gezeigt habe?
Danke für die Hilfe |
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bassiks
Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194
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Wiktoria
Gast
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| Wiktoria Verfasst am: 18. Dez 2013 15:04 Titel: |
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| Lernender7 hat Folgendes geschrieben: |
Und diese gleichung muss für alle t aus IR erfüllt sein?
Wie zeige ich das denn? |
Mit Pythagoras. |
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Lernender7
Gast
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| Lernender7 Verfasst am: 18. Dez 2013 16:33 Titel: |
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Vielen Dank für die Hilfe.
Ich habe es so gemacht:
*c\ und\ b = cos(t)\ * c)
Wenn ich das jetzt einsetzte, komme ich auf meine Gleichung.
Ich habe jetzt noch eine Teilaufgabe, bei der ich die Bogenlänge
 = \int_{-\infty}^t \! |\dot \vec{x(\tau )} | \, \dd \tau) bestimmen soll.
Das heißt, hier integriere ich einfach die Ableitung von x( ).
Und das t wurde einfach nur durch ersetzt, damit das nicht als Integrationsvariable auftaucht?
Ich kann hier einfach ganz normal integrieren?
Und dann steht als Frage "Welche anschauliche Bedeutung kommt der Bogenlänge zu?
Danke für Eure Hilfe |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 18. Dez 2013 20:14 Titel: |
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| Lernender7 hat Folgendes geschrieben: | | Das heißt, hier integriere ich einfach die Ableitung von x(). |
Naja, den Betrag der Ableitung. Das ist schon etwas Rechnerei...
| Lernender7 hat Folgendes geschrieben: | Und das t wurde einfach nur durch ersetzt, damit das nicht als Integrationsvariable auftaucht?
Ich kann hier einfach ganz normal integrieren? |
Ja, allerdings bekomme ich gerade das Integral hier nicht gelöst... Vielleicht habe ich mich verrechnet? Aber weil Du schreibst "einfach"... Ganz sooo einfach muss es nicht unbedingt werden, so wie ich das sehe.
Gruß
Marco
Edit: Hubs, hab gerade meinen (echt doofen...) Fehler gefunden. Das Integral ist dann wohl doch trivial zu lösen... |
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Lernender7
Gast
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| Lernender7 Verfasst am: 18. Dez 2013 20:36 Titel: |
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Danke für deine Mühe.
Also mit einfach meinte ich, dass ich zumindest weiß, was ich tun muss. Das noch richtig gelöst zu bekommen, ist dann nochmal eine andere Sache.
Ich versuche mich mal daran, jetzt wo ich weiß, was zu tun ist.
Danke |
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Lernender7
Gast
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| Lernender7 Verfasst am: 19. Dez 2013 00:57 Titel: |
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Danke nochmal für die Hilfe. Ich habe jetzt fast alle Aufgaben soweit gelöst, nur bei einer habe ich noch Probleme.
Die Bahnkurve ist die gleiche wie oben im Anfangspost schon gegeben.
Ich soll jetzt zeigen, dass die Projektion der Kurve in die x-y - Ebene eine logarithmische Spirale ergibt, die Kurve sich in Polarkoordinaten also als
 = \frac{1}{2} * e^{\varphi}) .
Ich habe versucht, den Parameter t der Bahnkurve zu eliminieren, um eine Funktion z(x,y) zu erhalten, mit der ich dann in Polarkoordinaten umrechen kann, aber das ist irgendwie nicht machbar.
Kann mir da bitte noch jemand helfen.
Vielen Dank! |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 19. Dez 2013 08:24 Titel: |
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Du kannst doch recht einfach erst den kartesischen Vektor in Polarkoordinaten schreiben (dabei aber gleich z ignorieren), immernoch in Abhängigkeit von t. Da bekommst Du ganz einfache Beziehungen für r und phi. Dann kannst Du die für phi nach t auflösen und in die für r einsetzen.
Gruß
Marco |
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