Bahnkurve in Zylinderkoordinaten parametrisieren

doppelzwei · Anmeldungsdatum: 15.06.2023 Beiträge: 1

Meine Frage:
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Aufgabe 17: Bahnkurven
6 Punkte
Ein Punktteilchen der Masse $m$ bewegt sich entlang einer Bahnkurve $\vec{r}(t)$, die gegeben ist durch
$$
\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}
v_{\perp} t \cos (\omega t) \\
v_{\perp} t \sin (\omega t) \\
v_{\|} t
\end{array}\right)
$$
Es ist hier vorteilhaft, Zylinderkoordinaten zu verwenden, mit $x=\rho \cos \phi, y=\rho \sin \phi$, und $z=z$.
1
a) Berechnen Sie den von $t=0$ bis zur Zeit $t$ zurückgelegten Weg $s(t)$. In welcher Ebene verlässt es den Ursprung zur Zeit $t=0$ ?
(3 Punkte)
Hinweis: $\int_0^b d x \sqrt{a^2+x^2}=\frac{b}{2} \sqrt{a^2+b^2}+\frac{a^2}{2} \ln \left(\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{|a|}\right)$

Ich verstehe nicht:

1.) Was mit v_parallel und v_senkrecht gemeint ist.
2.) Warum es vorteilhaft ist, Zylinderkoordinaten zu verwenden und wie man diese hier überhaupt effektiv verwendet um sich Zeit zu sparen (ich dachte eigentlich, die Aufgabe wäre schon in Zylinderkoordinaten angegeben)

Meine Ideen:
Ich hätte jetzt einfach r(t) nach der Zeit abgeleitet, den Betrag davon von 0 nach t integriert und mit v_senkrecht und v_parallel wie zwei unterschiedliche Variablen gerechnet. Dann verstehe ich aber den Sinn des Hinweises nicht.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Hier nochmals die Bahnkurve: