Kräftefreie Bewegung in Zylinderkoordinaten

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Meine Frage:
Ich soll das Potential einer kräftefreien Bewegung in Zylinderkoordinaten bestimmen und dazu den Energiesatz verifizieren.

Meine Ideen:
Gegeben sind Zylinderkoordinaten

Dazu sollte ich die Beschleunigung einer zeitabhängigen Teilchenbahn bestimmen. Durch Bestimmung der Einheitsvektoren und zweifaches Differenzieren habe ich gefunden:

Bei einer kräftefreien Bewegung gilt ja dann

Also muss jede Komponente meines Ortsvektors in Zylinderkoordinaten Null sein. Das gibt dann 3 Gleichungen:

Jetzt sollte man

aus Gleichung (2) bestimmen. (2) entspricht ja ziemlich sicher der DGL eines harmonischen Oszillators, ich weiß aber nicht wie man hier nach

auflösen soll, da die Koeffizienten nicht konstant sind.

Danach sollte man den Ausdruck für

in Gleichung (1) einsetzen und sollte am Ende eine DGL enthalten, die eine Bewegung in einem bestimmten Potential beschreibt und den Energiesatz verifizieren

Wie kann ich die DGL lösen, wenn alle Variablen zeitabhängig sind?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5869

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5869

Für den Moment kann ich nur sagen, dass in der

-Komponente von

wahrscheinlich ein kleiner Fehler ist:

Aus der Gleichung für die

-Komponente

müsste folgen

Setzt man das in die Gleichung für die

-Komponente ein, erhält man auch ein effektives Potential, aber im Moment bringe ich das noch nicht in Übereinstimmung mit der Energieerhaltung. Ein Vorzeichen stört mich vor allem. Ich möchte es morgen nochmals anschauen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5869

Wenn man die Gleichung für die

-Komponente mit

multipliziert, sieht man einfacher den Zusammenhang mit der Energieerhaltung. Für mich war noch das Problem, dass

beim Ursprung zu divergieren scheint. Das ist aber nicht der Fall: ist die Bahn des Teilchens eine Gerade durch den Ursprung, so ist

. Allerdings haben dann

und

beim Ursprung eine Unstetigkeitsstelle (ausser bei einer Bewegung entlang der z-Achse).