Zylinderkoordinaten, Basisvektoren, Jakobimatrix

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hallo,

Ich habe eine Aufgabe, die ich zur Vorbereitung in meinem Theo Buch gefunden habe, bei der ich einfach nicht weiter komme:

Die elliptischen Zylinderkoordinaten (u, phi, z) sind gegeben durch:
x=cosh u cos phi und y=sinh u sin phi und z=z.

Bestimmen Sie
(a) die Funktional/Jacobi-Matrix J,
(b) die Metrik g
(c) die Basisvektoren e_u und e_phi

Ich weiß, dass die Jacobimatrix die partiellen Ableitungen enthält. Aber wie muss Ich das hier machen?
Da kommt ganz etwas Komisches raus, fast nur Nullen. Habe den Zettel also entsorgt.

B) und c) finde ich Nicht, wie ich das bestimmen soll.

Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?

Packo · Gast

Es heißt nicht "Jakobimatrix" sondern "Jacobimatrix".
Gehört deine Frage nicht eher ins Mathematik-Forum?

Um die Jacobimatrix zu finden, brauchst du doch nur die Ableitungen zu bilden. Wo liegt da die Schwierigkeit?

Packo · Gast

Ich hab das jetzt mal schnell selbst gemacht.
(ich schreibe u,v,z anstatt u,φ,z)

Die Jacobimatrix ist:

ClickBox · Anmeldungsdatum: 19.02.2012 Beiträge: 124

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hi,

Ich sollte mir wohl schleunigst abgewöhnen, zu denken, was für mich komisch ist, ist falsch.

Bis auf die letzte Spalte hatte ich das sogar so. Vielen Dank, Packo, für die Hilfe mit der J-Matrix.

zu b)
Die Metrik ist gleich der Determinanten? Es hieß, das der Metrische Tensor und die Matrik das gleiche sind.

Ich schreibe auch mal v=phi
det(Jacobi-Matrix)=sinh(u)^(2)*cos(v)^(2)+cosh(u)^(2)*sin(v)^(2)

Aber das ist doch kein Tensor?! Was muss ich denn für den Tensor tun?

zu c) werde ich dann mal schauen. Werde die (meine) Lösung dann posten...

Grüße

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Die euklidische Metrik in R^3 ist gegeben durch:

mit

.
Jetzt musst Du nur noch rausfinden wie dx,dy,dz von du,dphi und dz abhängen und einsetzen.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hallo,

ClickBox · Anmeldungsdatum: 19.02.2012 Beiträge: 124

Ok, g wird manchmal auch direkt als die Determinante definiert.

Also für den Tensor gilt:

und als Matrix geschrieben:

Wenn f die Parametrisierng, also deine neuen Koordinaten, ist und J die Jacobische.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Jau, danke sehr.

Dann habe ich jetzt auch den Metrischen Tensor berechnet. Das ist ziemlich viel, das schreibe ich hier nicht rein. Sollte stimmen, jedenfalls Grundsätzlich. Matritzenmultiplikation eben.

Zu den Basisvektoren bzw. Eigenvektoren:

Da wäre ich daran interessiert, ob mein bestimmter e_u Vektor stimmt?

Und falls der falsch ist, wo liegt der Fehler?

Danke und Grüße

ClickBox · Anmeldungsdatum: 19.02.2012 Beiträge: 124

Eigenvektoren??

Habe gerade leider weder Zeit noch die Lust ^^ die Basisvektoren nachzurechnen, aber da kann ja nicht so viel falsch machen.

Für e_u, in jeder Komponente nach u ableiten und für h_u den Betrag der Ableitung Bilden, für e_v nach v ableiten usw.

Ich sehe gerade allerdings nicht woher in h_u das +1 kommt, aber es gibt ja Regeln mit denen man die Funktionen zusammenfassen kann, wurden die vielleicht angewendet? Damit solltest du die Jacobi-Matrix auch verschönern können und falls das h falsch ist auch noch deine Einheitsvektoren. Es würde mich wundern wenn so etwas hässliches dabei heraus kommt.

Google mal danach, das Problem sollte gelöst irgendwo zu finden sein.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hi,

danke für die Antwort. Ist mir wohl der Falsche Begriff durchgerutscht. Basisvektoren bzw. Einheitsvektoren meine ich natürlich.

Leider habe ich im Internet nichts gefunden, dass mir die Lösung für die elliptischen Zylinderkoordinaten angibt.

Wie ist denn die Summe in meinem Screenshot zu verstehen?

für das erste h_1=h_u habe ich gedacht, dass die Summe von 1 bis 3 geht, daher die 1.

ClickBox · Anmeldungsdatum: 19.02.2012 Beiträge: 124

Daher der Fehler.

Also der Sinn dieses Faktors ist die Normierung des berechneten (anschaulich Geschwindigkeits-/)Basisvektors.

Man möchte ja Basis-Vektoren der Länge 1, daher muss man den Vektor nochmal durch seinen Betrag teilen.

In der ersten Zeile steht es korrekt, was unter der Wurzel steht ist natürlich Blödsinn, man kann den laufenden Indize aber durch j ersetzen und xi durch xj, dann stimmt es wieder.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Danke sehr.

Habe das nun alles berichtigt.

Mich würde noch interessehalber interessieren, wie der Nabla-Operator in diesen Koordinaten aussieht. Gibt es dafür auch eine Formel?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_coordinates
oder jede gute Formelsammlung.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Gut, danke sehr.

Nun habe ich alles verstanden und auf Papier.