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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
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 MI Verfasst am: 10. Jul 2013 13:15 Titel: Clifford Algebren, Spin systeme |
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Die folgende Frage ist sehr speziell und vielleicht gibt's keine Antwort darauf, aber vielleicht hat jemand eine Idee.
Ich möchte Spinsysteme betrachten, die durch eine Clifford-algebra charakterisiert sind, also  mit  (Euklidische Metrik).
Wir betrachten das ganze eingebettet in eine Matrixalgebra. Da bekannteste Beispiel sind wohl die Diracschen Gamma-Matrizen  . Wenn ich jetzt die (Jordan)Algebra  betrachte, die von den und der Identität erzeugt ist und eine Algebra ist unter dem Jordanprodukt ) .
Diesen Typ von Algebren nennt man auch Spinfaktoren.
Einen Spinfaktor nennt man reversibel, wenn für alle natürlichen n und alle  auch 
Die Frage ist, ob es eine physikalische Bedeutung von Reversibilität gibt.
Am Beispiel: Die Diracalgebra ist der Spann von  und wir nehmen eine Majoranadarstellung (selbstadjungierte gamma). Dann gilt ) und dieses  ist NICHT mehr in der erzeugten Algebra, d.h. die Algebra ist NICHT reversibel.
Hat das irgendeine Bedeutung? Was wäre, wenn das in der Algebra wäre, gäbe es dann physikalische Bedeutung? (gamma_5 hängt ja mit der Chiralität zusammen - oder der Zeitumkehr)
Gruß
MI |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 11. Jul 2013 08:18 Titel: |
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Ich verstehe noch nicht genau, worauf du hinauswillst.
Die Clifford-Algebra ist doch die Vervollständigung der Dirac-Algebra, d.h. man nimmt einfach alle weiteren Matrizen, insbs. die die von der Dirac-Matrizen erzeugt werden, mit hinzu. Brauchst du also die Clifford-Algebra überhaupt?
Bzgl. Gamma-5: hilft es dir, wenn ich dir sage, dass diese Eigenschaft der Gamma-Matrizen sowie insbs. Chiralität nur in geradzahligen Dimensionen D=2,4,... existiert? Anders ausgedrückt: in drei Dimensionen existiert keine Chiralität (zeichne einen mittels Pfeil orientierten Kreis auf eine transparente Folie; du kannst die Orientierung auf zweierlei Weisen umdrehen: a) durch Spiegelung; b) durch Umdrehen der Folie - und genau dafür brauchst du drei Dimensionen)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
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| MI Verfasst am: 11. Jul 2013 14:08 Titel: |
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Der Punkt ist, dass mir physikalisch eben auch nicht ganz klar ist, was ich möchte - das Problem stammt eigentlich aus der Mathematik. Ich versuche zu präzisieren.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Clifford-Algebra ist doch die Vervollständigung der Dirac-Algebra, d.h. man nimmt einfach alle weiteren Matrizen, insbs. die die von der Dirac-Matrizen erzeugt werden, mit hinzu. Brauchst du also die Clifford-Algebra überhaupt? |
Ja und nein. Was ich in meinem Problem gegeben habe, sind Jordanalgebren - also Algebren, die unter dem symmetrischen Matrixprodukt abgeschlossen sind anstatt des assoziativen.
Die Vervollständigung der Diracmatrizen unter dem symmetrischen Matrixprodukt (AB+BA) ist genau so etwas.
Der Punkt ist, dass die endlich dimensionalen Jordanalgebren in zwei Typen zerfallen: die einen sind reversibel (Definition oben) und die anderen sind es nicht. Und der Unterschied liegt genau in den Spinfaktoren, also den Cliffordalgebren, alle anderen Jordanalgebren sind immer reversibel (bis auf eine Ausnahme, die irrelevant ist).
Die Frage ist, ob es eine physikalische Interpretation für Reversibilität und Irreversibilität von Spinsystemen gibt.
Für die Diracmatrizen ist das dann genau auf die Frage zurückzuführen, ob gamma-5 noch in der Algebra ist oder nicht. Wir hatten einfach nur spekuliert, dass da vielleicht eine physikalische Bedeutung liegt.
Jetzt ist es aber so, dass alle Spinsysteme mit Dimension >=6 irreversibel sind, das passt also nicht so gut mit der Interpretation in Richtung Chiralität oder so etwas.
Danke aber für's Überlegen! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 12. Jul 2013 00:19 Titel: |
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Klingt sehr interessant, aber mit Jordan-Algebren kenn' ich mich nicht aus. Stell die Frage mal in diesem Forum: http://www.physicsforums.com/index.php
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
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| MI Verfasst am: 15. Jul 2013 14:46 Titel: |
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Ja, ich hatte mir gedacht, dass hier das Publikum zu klein ist, aber versuchen kann man's ja. Vielleicht stelle ich die Frage noch mal da.
Danke aber für's anschauen.
Gruß
MI |
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