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seeker_12
Gast
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 seeker_12 Verfasst am: 12. Mai 2013 11:54 Titel: Fermionen mit Spin 1/2 |
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Hallo zusammen,
Stephen Hawking benutzt zur Verbildlichung eines Teilchens mit Spin 1/2 die Formulierung, daß sich dieses Teilchen 2x um die eigene Achse drehen muß, um wieder identisch auszusehen. "aussehen" ist natürlich nicht zu überprüfen. "Eigendrehimpuls" würde auch irgendwie eine Rotation um die eigene Achse voraussetzen.
Wie kann ich mir also am besten einen Spin 1/2 h visualisieren, was sagt dieses über ein Teilchen aus, im Gegensatz zu z.B. dem Spin 1 eines Photons ?
Danke für Hilfestellung
seeker_12 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2013 12:50 Titel: |
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Die Idee von Hawking ist eine direkte Umsetzung der Mathematik der Rotationen R. Üblicherweise gilt für eine Drehung
 = 1)
Angewandt auf Spin 1/2 Fermionen gilt jedoch
 = -1)
 = +1)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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seeker_12
Gast
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| seeker_12 Verfasst am: 12. Mai 2013 13:02 Titel: |
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Danke. D.h. sie rotieren also wirklich ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2013 13:06 Titel: |
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Nein.
Es geht nicht um die Rotation des Fermions, so dass daraus der Spin entsteht, sondern darum, was geschieht, wenn man das Bezugssystem rotiert, aus dem heraus man das Fermion betrachtet.
Stell dir Zifferblatt und Zeiger einer Uhr vor. Der Zeiger rotiert. Du kannst aber auch die Uhr "von außen" als ganzes rotieren, diese also aus unterschiedlichen Winkeln betrachten.
Im Falle der Fermionen kannst du letzteres ebenfalls tun (dafür steht mein R), allerdings darfst du dir nicht mehr vorstellen, dass da etwas wirklich rotiert; also kein Zeiger im eigtl. Sinne.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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seeker_12
Gast
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| seeker_12 Verfasst am: 12. Mai 2013 13:25 Titel: |
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Danke, Du kannst prima erklären, kann man bei Dir privat Nachhilfe beziehen ? 
Also es würde bedeuten, wenn ich mich auf fermionengröße schrumpfen würde und auf einer beliebigen kugelbahn um das Fermion laufen würde, dann würde es erst nach zweimal umrunden (also 2* 2pi) wieder denselben wert annehmen, also gleich "aussehen" ? Was würde ich nach 1x umrunden wahrnehmen ?
Danke |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 12. Mai 2013 13:43 Titel: |
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Na ja, es handelt sich um Quanenzustände, von Aussehen kann man da nicht sprechen.
Nach einmaliger Rotation um 360 Grad entsteht ein -1, also das negative des ursprüngliche Quantenzustandes.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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D2
Anmeldungsdatum: 10.01.2012
Beiträge: 1723
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| D2 Verfasst am: 12. Mai 2013 14:31 Titel: Re: Fermionen mit Spin 1/2 |
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| seeker_12 hat Folgendes geschrieben: | | Wie kann ich mir also am besten einen Spin 1/2 h visualisieren? |
1.Gar nicht.
2.Oder du denkst an unsere Sonne die sich in Zustand einer differentiellen Rotation befindet.
" Die Umlaufperiode von Sonnenflecken in der Äquatorregion betrug etwa 24 Tage, von jenen in höheren Breiten etwa 31 Tage."
Wenn die Rotationgeschwindihkeit in Äquatorebene doppelt so schnell wäre wie die Rotationsgeschwindigkeit an den Polen, dann bräuchte man exakt 2 Umdrehungen um gleichen Zustand zu erreichen, also 720° anstatt 360°.
http://de.wikipedia.org/wiki/Sonnenrotation
Das Problem ist, dass die Elementarteilchen in der Theorie punktuell und starr angesehen werden. Keiner hat versucht diese Statrrheit durch eine reele Rotation zu erklären(stell dir eine Fahrradkette die frei rotiert for, die ist extrem starr).
Antwort 2 ist reinste Spekulation und wissenschaftlich nicht belegt!
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Lösungen gibt es immer, man muss nur darauf kommen. |
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seeker_12
Gast
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| seeker_12 Verfasst am: 12. Mai 2013 16:36 Titel: |
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Danke für die Erklärungen. Wie ist es begründet, daß die massetragenden Teilchen alle einen spin 1/2 haben, während die kräftetragenden Teilchen spin >1 ausweisen ? Oder sind sie massetragend, weil sie spin 1/2 haben ?
Falls es haltbar ist, daß z.B. ein Elektron eine punktladung darstellt (könnte ja auch sein daß es unterhalb der Plancklänge eine >0D-Struktur gibt, die uns verborgen ist), wie/wo manifestiert sich dann die Ladung im/am Teilchen ?
Danke vorab,
seeker_12 |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 14. Mai 2013 08:09 Titel: |
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| seeker_12 hat Folgendes geschrieben: | Danke für die Erklärungen. Wie ist es begründet, daß die massetragenden Teilchen alle einen spin 1/2 haben, während die kräftetragenden Teilchen spin >1 ausweisen ? Oder sind sie massetragend, weil sie spin 1/2 haben ?
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Es gibt auch Teilchen, die nicht Spin 1/2 haben und trotzdem eine Masse; Higgs (Spin 0), W- und Z-Bosonen (Spin 1) als elementare Teilchen, und dann noch etliche zusammengesetzte: Pionen, Kaonen,.... (Spin 0) und rho, J/Psi,.... (Spin 1) und viele mehr.
Die Aufteilung in "Materie-Teilchen" und "Kraft-Teilchen" ist letztlich einfach dadurch, dass wir aus Protonen,Neutronen und Elektronen bestehen und die 'Kräfte', die wir spüren, in einer gewissen Näherungsrechnung zur ersten Ordnung durch Eichbosonen 'vermittelt' werden, d.h. sie liefern in dieser Rechnung den groessten Beitrag.
(Ich weiss, dass das keine gute Begründung ist, aber 'Warum'-Fragen sind in der Physik in der Regel nicht (gut) zu beantworten, nur 'Wie'-Fragen.) |
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seeker_12
Gast
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| seeker_12 Verfasst am: 15. Mai 2013 08:56 Titel: |
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danke dir, hat mir geholfen. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 09. Jun 2022 11:57 Titel: |
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Entschuldigung, dass ich einen alten Faden wieder aufhebe, aber ich wollte dafür kein neues Thema aufmachen. Ich verstehe bei dieser Doppeldrehung überhaupt nicht worum es geht.
Meine Kaffeetasse besteht überwiegend aus Fermionen. Wenn ich die nun um 360° drehe, habe ich dann negativen Kaffee drin? Geht es überhaupt um räumliche Drehungen?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 13:09 Titel: |
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Ja, es geht um eine räumliche Drehung des Bezugsystems (nicht um eine Rotation des Objektes selbst).
Betrachten wir das Problem zunächst für ein einziges Teilchen bzw. Feld, nicht gleich für ein Vielteilchen-System.
1) Nimm an, du hast einen Zeiger bzw. ein Vektorfeld V im 3-dim. Raum, die du bzgl. der Koordinaten x beschreibst. Dann gilt für eine allgemeine Lorentztransformation, insbs. eine Drehung
 \to \bar{V}(\bar{x}) =\Lambda V(\Lambda^{-1} \bar{x}) )
Die Darstellung auf dem Vektorfeld V ist dabei die fundamentale Darstellung, sie ist identisch zur Darstellung auf den Ortsvektoren r. Vereinfacht gesprochen: wenn die dich bzgl. des Zeigers nach links drehst, siehst du den Zeiger so, wie wenn du nicht dich nach links sondern den Zeiger nach rechts gedreht hättest.
Beispiele wären das Viererpotential oder die Viererstromdichte.
2) Für ein Skalarfeld liegt die triviale Darstellung vor, d.h.
 \to \bar{\phi}(\bar{x}) = \phi(\Lambda^{-1} \bar{x}) )
d.h. das Skalfeld wird überhaupt nicht rotiert, die Lorentztransformation ist gerade die Eins.
Ein Beispiel wäre das Temperaturfeld.
3) Für Tensorfelder höherer Stufe wie die elektromagnetische Feldstärke funktioniert das analog.
4) Die Lorentzgruppe entspricht mathematisch (bis auf Details, die uns erst mal nicht interessieren) der SO(3,1), d.h. verallgemeinerten Drehungen im 4-dim. Raum. Man kann eine Erweiterung
 \sim SU(2) \otimes SU(2))
konstruieren, die alle Tensordarstellungen sowie zusätzliche Spinordarstellungen enthält. Dabei gilt.
 \to \bar{\psi}(\bar{x}) = S(\Lambda) \psi(\Lambda^{-1} \bar{x}) )
Das Spinorfeld psi ist kein Tensor, d.h. die Darstellung S sieht algebraisch anders aus. Es handelt sich jedoch um eine Darstellung der Lorentzgruppe in dem Sinne, dass die Gruppenverknüpfung mit Einselement und inversem Element unter bestimmten Voraussetzungen erhalten bleibt.
 = S(\Lambda_2) \circ S(\Lambda_1))
Der Knackpunkt ist, dass die o.g. Erweiterung eine „größere“ Gruppe darstellt, sie hat „mehr“ Elemente als die Lorentzgruppe.
Beschränken wir uns auf Drehungen im 3-dim. Raum (ohne Boosts) und reduzieren wir von den Dirac- auf die Pauli-Spinoren, so entspricht dies
 \sim SU(2))
Man kann nun eine Abbildung sigma konstruieren, die zwei-zu-eins ist, d.h.
 \to SO(3))
wobei genau zwei Elemente der SU(2) auf genau ein Element der SO(3) abgebildet werden.
Es gibt daher im Spinorraum immer zwei Rotationen, die auf eine Rotation im 3-dim. Raum abgebildet werden, wobei insbs. für die Eins-Elemente gilt
 = S(\pm 4\pi) = \ldots = 1_{SU(2)} \to 1_{SO(3)})
 = \ldots = -1_{SU(2)} \to 1_{SO(3)})
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 09. Jun 2022 15:53 Titel: |
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Ich bin etwas überfordert. Gilt obiges schon bei der Schrödinger-Wellenfunktion oder erst beim Pauli-Spinor?
Und wenn erst ab dem Spinor, hat es damit zu tun, dass der dreidimensionale Spin durch vier reelle (d.h. zwei komplexe) Zahlen in der Pauli-Gleichung angegeben wird?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 16:10 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Gilt obiges schon bei der Schrödinger-Wellenfunktion oder erst beim Pauli-Spinor? |
Die Wellenfunktion der gewöhnlichen Schrödingergleichung ist ein Skalar. Die Pauligleichung ist eine verallgemeinerte Schrödingergleichung, in der die Wellenfunktion ein 2er-Spinor bzgl. der SU(2) ist.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | … hat es damit zu tun, dass der dreidimensionale Spin durch zwei komplexe Zahlen in der Pauli-Gleichung angegeben wird? |
Ja.
Die SO(3) der Rotationen von 3-dim. Vektoren wird zur SU(2) erweitert. Diese hat eine Darstellung als 2*2-Matrizen auf 2er-Spinoren.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 09. Jun 2022 16:25 Titel: |
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Es wäre nun schön, wenn man das irgendwie anschaulich machen könnte. Ein Freund nervt mich nämlich dauernd damit, dass das für Fermionen so wichtig wäre. Ich halte die Statistik allerdings für viel wichtiger (Pauli-Prinzip). Aber ich möchte das Generve abschalten und es deshalb erstmal selbst (anschaulich) verstehen.
Vielleicht kann man erklären, was der vierdimensionale Spinor so macht, wenn man "nur" 360° herum läuft.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 16:38 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Es wäre nun schön, wenn man das irgendwie anschaulich machen könnte. |
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Plate_trick
Ich finde das nicht anschaulich, aber gut …
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Ein Freund nervt mich nämlich dauernd damit, dass das für Fermionen so wichtig wäre. Ich halte die Statistik allerdings für viel wichtiger (Pauli-Prinzip). |
Es ist schon wichtig, weil sich Spinoren in vielerlei Hinsicht anders verhalten als Vektoren. Insbs. hat die Dirac-Gleichung eine besondere Struktur.
Der Zusammenhang zwischen Spin und Statistik ist sehr indirekt:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spin–statistics_theorem
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 09. Jun 2022 16:44 Titel: |
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Er sagt außerdem, das Halbzahlige am Spin käme daher, dass man zweimal voll drehen muss. Stimmt das? Gilt das auch für Spin 3/2?
Wo kommt die Bezeichnung Spin 1/2 überhaupt her? Von den magnetischen Eigenschaften?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. Jun 2022 16:45 Titel: |
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Ist nur eine Randbemerkung zur laufenden Diskussion, aber da die Zusammenhänge leicht unübersichtlich erscheinen können vielleicht auch als zukünftige Referenz mal nützlich...
| TomS hat Folgendes geschrieben: | 4) Die Lorentzgruppe entspricht mathematisch (bis auf Details, die uns erst mal nicht interessieren) der SO(3,1), d.h. verallgemeinerten Drehungen im 4-dim. Raum. Man kann eine Erweiterung
konstruieren, die alle Tensordarstellungen sowie zusätzliche Spinordarstellungen enthält. |
Die Überlagerungsgruppen der speziellen orthogonalen Gruppen ) werden einheitlich als ) bezeichnet. Es gelten folgende Gruppenisomorphismen
 = SU(2))
 = SU(2)\times SU(2))
und
 = SL(2, \mathbb{C}).)
Die Überlagerungsgruppe der Lorentzgruppe ist also ) (die Gruppe der komplexen 2x2 Matrizen mit Determinante 1), nicht \times SU(2)) . Letztere ist hingegen die Überlagerungsgruppe der 4-dimensionalen Drehgruppe.
Für die komplexifizierten Algebren gilt aber
_\mathbb{C} = \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})_\mathbb{C} = \mathfrak{so}(4)_\mathbb{C} = \mathfrak{su}(2)_\mathbb{C} \oplus \mathfrak{sl}(2)_\mathbb{C})
Die Lorentz-Algebra ) ist also eine (von mehreren) reellen Formen dieser komplexen Lie-Algebra. Der Zusammenhang _\mathbb{C} = \mathfrak{su}(2)_\mathbb{C} \oplus \mathfrak{sl}(2)_\mathbb{C}) wird hier verwendet um die irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Algebra zu klassifizieren und damit die projektiven Darstellungen der Lorentzgruppe, für die man sich eigentlich interessiert.
Siehe auch Peter Woits Two Pet Peeves.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 09. Jun 2022 16:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 16:48 Titel: |
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Ja, danke für die Präzisierung.
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 09. Jun 2022 21:23 Titel: |
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In einem Labor stehen mehrere Personen und halten ein Elektron in einer elektromagnetischen Falle gefangen. Ich sei eine dieser Personen. Ich laufe um den Labortisch mit der Falle immer mit den Augen Richtung Falle, also eine Art gebundene Rotation. Dabei laufe ich einmal um den Tisch, also 360°. Warum sollte ich danach einem anderen Quantenzustand des Elektrons beobachten als die anderen Personen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Jun 2022 21:51 Titel: |
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Du müsstest als erstes eine Observable A konstruieren, die für den Spin sensitiv ist und die du praktisch messen kannst.
Zweitens würde dir das nicht helfen, denn
wird ja rotiert zu
wegen
und damit ist diese Phase nicht direkt beobachtbar.
Ist aber eine interessante Frage. Evtl. kann man theoretisch was konstruieren, z.B. durch einen “Strahlteiler” in dessen einen Pfad man eine Spinrotation einbaut. Trotzdem bleibt natürlich die Frage, wie man das praktisch bauen soll.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 795
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| Aruna Verfasst am: 10. Jun 2022 03:06 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | In einem Labor stehen mehrere Personen und halten ein Elektron in einer elektromagnetischen Falle gefangen. Ich sei eine dieser Personen. Ich laufe um den Labortisch mit der Falle immer mit den Augen Richtung Falle, also eine Art gebundene Rotation. Dabei laufe ich einmal um den Tisch, also 360°. Warum sollte ich danach einem anderen Quantenzustand des Elektrons beobachten als die anderen Personen? |
Üblicherweise läuft man wohl nicht um den Tisch, sondern dreht den Detektor.
Und Quantenzustände sind ja allgemein schwierig direkt zu beobachten.
laut Wikipedia ist der Faktor 1/2 zunächst auch eher aufgrund der die Messergebnisse Drehungen um 180° notwendig:
| Zitat: | Würden sich die Wahrscheinlichkeitsamplituden um den gleichen Betrag wie der Detektor drehen, dann hätten sie sich bei einer Drehung des Geräts um 180° um den Faktor -1 verändert, was quadriert dasselbe Ergebnis wie zu Beginn voraussagen würde, aber Experimente zeigen, dass dies falsch ist. Wenn der Detektor um 180° gedreht wird, kann das Ergebnis bei Spin-1/2
Teilchen anders ausfallen, als wenn er nicht gedreht wird. Daher ist der halbe Faktor notwendig, damit die Vorhersagen der Theorie mit den Experimenten übereinstimmen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Spin-1/2#Complex_phase
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oben in dem Wikipedia-Artikel findest Du auch den Hinweis auf das Stern-Gerlach-Experiment, das ursprünglich die Motivation für nicht ganzahlige Eigendrehimpulse war, und ein animiertes Gif, das die von TomS erwähnte Bänderveranschaulichung zeigt:
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Spin_One-Half_(Slow).gif
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ist aber eine interessante Frage. Evtl. kann man theoretisch was konstruieren, z.B. durch einen “Strahlteiler” in dessen einen Pfad man eine Spinrotation einbaut. Trotzdem bleibt natürlich die Frage, wie man das praktisch bauen soll. |
zur direkten Messung bei 360° bzw. 720° weiter im verlinkten Artikel:
| Zitat: | Was die direkteren Beweise betrifft, so sind die physikalischen Auswirkungen der Differenz zwischen der Rotation eines Spin-1/2
Teilchens um 360° im Vergleich zu 720° sind in klassischen Experimenten [5] zur Neutroneninterferometrie experimentell beobachtet worden. Insbesondere, wenn ein Strahl von spinorientierten Spin-1/2
Teilchen geteilt wird und nur einer der Strahlen um die Achse seiner Bewegungsrichtung gedreht und dann mit dem ursprünglichen Strahl rekombiniert wird, werden je nach Drehwinkel unterschiedliche Interferenzeffekte beobachtet. Bei einer Drehung um 360° werden Auslöschungseffekte beobachtet, während bei einer Drehung um 720° die Strahlen sich gegenseitig verstärken. |
Was das für's um den Tisch laufen bedeutet, müsste ich mir erst noch längere Zeit überlegen... 
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 10. Jun 2022 07:58 Titel: |
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Da hatte ich doch einen ganz guten Riecher ;-)
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 677
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| Sonnenwind Verfasst am: 10. Jun 2022 10:13 Titel: |
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Vielleicht kann man sich die Drehung eines Spinvektors am besten in der Riemanschen Fläche für die Quadratwurzelfunktion vorstellen:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_surface_sqrt.jpg
Künstlerisch wertvoll wird es, wenn man versucht, das abhängig von den drei Raumdimensionen zu machen:
Künstler an die Macht!
Idee: Die Wurzel aus einem Quaternion könnte helfen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 10. Jun 2022 10:39 Titel: |
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Na ja, das Problem ist, dass wir uns in einem 2*2-dim. Raum bewegen, da wird’s mit der Anschauung immer schwierig …
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 11. Jun 2022 08:11 Titel: |
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Und zu einem Experiment siehe hier:
https://arxiv.org/abs/1904.07085
B
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