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Kinetische Energie - Faktor 1/2
 
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Wissensdurstig



Anmeldungsdatum: 09.05.2013
Beiträge: 83

Beitrag Wissensdurstig Verfasst am: 21. Dez 2013 06:15    Titel: Kinetische Energie - Faktor 1/2 Antworten mit Zitat

Die Formel für die kinetische Energie lautet ja



Wie kann man sich nun den Vorfaktor erklären?
Panda
Gast





Beitrag Panda Verfasst am: 21. Dez 2013 10:20    Titel: Re: Kinetische Energie - Faktor 1/2 Antworten mit Zitat

Wissensdurstig hat Folgendes geschrieben:
Die Formel für die kinetische Energie lautet ja



Wie kann man sich nun den Vorfaktor erklären?


Schau dir mal die Herleitung der kinetischen Energie an. Augenzwinkern
Wissensdurstig



Anmeldungsdatum: 09.05.2013
Beiträge: 83

Beitrag Wissensdurstig Verfasst am: 21. Dez 2013 19:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ist es zu viel verlangt, die Herleitung hier schnell abzutippen?

Ansonsten danke für die ausführliche Antwort.
Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 21. Dez 2013 19:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ist es zu viel verlangt sich die Herleitung, die man überall finden kann, anzugucken? Anders sieht die Herleitung hier auch nicht aus.


m*dv/dt = F
m*dv/dt *v = F*v
0,5 *m*d/dt v² = F*v
0.5*m*v² = Integral F*v dt = Integral F*ds
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Dez 2013 19:46    Titel: Antworten mit Zitat

Der Faktor kommt letztendlich von der Entwicklung der relativistischen Energie


Oder so wie Namenloser324 es beschrieben hat, je nachdem wo man startet...
Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 21. Dez 2013 19:55    Titel: Antworten mit Zitat

Meine Herleitung "stimmt" nur für das Starten bei der Newton Mechanik
Wissensdurstig



Anmeldungsdatum: 09.05.2013
Beiträge: 83

Beitrag Wissensdurstig Verfasst am: 21. Dez 2013 20:51    Titel: Antworten mit Zitat

Namenloser324 hat Folgendes geschrieben:
Ist es zu viel verlangt sich die Herleitung, die man überall finden kann, anzugucken?


Mein relativ ausführliches Lehrbuch hatte keine Herleitung und auch bei Wikipedia war keine zu finden (klar hätte ich noch weiter suchen können, aber dazu müsste ich mich erst einmal durch die ganzen nicht-brauchbaren Seiten boxen). Wozu poste ich denn dann eine Frage, wenn ich die Lösung dann eh irgendwo anders suchen soll? Das finde ich irgendwie witzfrei, dann hätte ich mir den gesamten Thread sparen können. Wenigstens ein-zwei Formeln hier reinkopieren oder den Link reinsetzen ist wohl das Mindeste was man erwarten kann. Es lesen ja auch 1-2 Leute mehr mit als ich und wenn die Antwort dann "ja schau dir die Herleitung an" ist finde das nicht sehr hilfreich... das hinterlässt keinen allzu guten Eindruck. Aber das ist nur meine persönliche Meinung.

inhaltlich wäre das geklärt, die 1/2 kommen halt von der Integration (mit Entwicklungen kann ich nicht viel anfangen).
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 3482

Beitrag DrStupid Verfasst am: 21. Dez 2013 21:34    Titel: Antworten mit Zitat

Namenloser324 hat Folgendes geschrieben:
Meine Herleitung "stimmt" nur für das Starten bei der Newton Mechanik


Genauer gesagt bei Galilei-Transformation. Nach Newton gilt F=dp/dt und damit funktioniert es auch bei Lorentz-Transformation.
Wiktoria
Gast





Beitrag Wiktoria Verfasst am: 22. Dez 2013 08:24    Titel: Antworten mit Zitat

@Wissensdurstig
Ich versuche dir mal eine Erklärung ohne Integral und ohne Wikipedia zu geben:

Wir betrachten einen Körper der Masse m, der sich in der Höhe h über dem Boden befindet.
Bezüglich des Bodens hat er also eine potenzielle Energie von m*g*h.
Wenn er nun fallen gelassen wird, so bleibt seine Gesamtenergie erhalten; sie wird nur in kinetische Energie umgewandelt. Diese Energie hängt nur von der Masse und von der Geschwindigkeit ab.
Man weiß außerdem (seit Galilei), dass das Quadrat der Geschwindigkeit nur von der Fallhöhe abhängt.
Wir können schreiben
mit einem unbekannten Vorfaktor
Es gilt aber auch

und

also eingesetzt:

oder
q.e.d.
Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 22. Dez 2013 14:56    Titel: Antworten mit Zitat

Dann müsste man herleiten wieso Ekin = k*mv² ist
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5415
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 22. Dez 2013 16:13    Titel: Antworten mit Zitat

Namenloser324 hat Folgendes geschrieben:
Dann müsste man herleiten wieso Ekin = k*mv² ist

Naja, er schreibt halt, das hat man experimentell so bestimmt... zumindest dass bei einem Fallexperiment v² ~ h also Fallhöhe und Quadrat der Geschwindigkeit nach dem Fall proportional zueinander sind.

Weiß nicht... Ich glaube irgendwie nicht, dass man zu der Zeit schon so viel an Energie gedacht hat. Hab aber keine Ahnung wirklich.

Das mit dem quadratischen Zusammenhang hat man schon "gewusst".

Gruß
Marco
Wissensdurstig



Anmeldungsdatum: 09.05.2013
Beiträge: 83

Beitrag Wissensdurstig Verfasst am: 22. Dez 2013 18:44    Titel: Antworten mit Zitat

Wiktoria hat Folgendes geschrieben:

Ich versuche dir mal eine Erklärung (...) zu geben:(...)


Danke. Thumbs up!
Micha_Zweifler
Gast





Beitrag Micha_Zweifler Verfasst am: 27. Apr 2020 02:32    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Wiktoria, in Deiner Erklärung ist eine Sache, die wieder zur eigentlichen Frage zurückführt: Woher kommt die 2 in v = sqrt{2*g*h} ?

Du kannst nicht eine Formel erklären, indem Du die gleiche Formel als Beweis nimmst.. es ist immer noch nicht klar woher der Faktor 1/2 kommt. Ich weiß es auch nicht, wüsste das aber gerne!
Micha_Zweilfler
Gast





Beitrag Micha_Zweilfler Verfasst am: 27. Apr 2020 02:40    Titel: Antworten mit Zitat

Es ist doch so: Die Energie ist E = m*g*h
Die Geschwindigkeit ist Beschleunigung * Zeit, also v=g*t.
g ist also v/t. Eingesetzt in m*g*h ist E = m*g*h = m*h*v/t = m*v*h/t
h/t ist aber wieder die Geschwindigkeit, also v=h/t.

Es bleibt E = m*v*v

Es fehlt der Faktor einhalb.. also nochmal: Wo kommt der her?
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 2609

Beitrag ML Verfasst am: 27. Apr 2020 02:58    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

Micha_Zweilfler hat Folgendes geschrieben:

Die Energie ist E = m*g*h

Im Schwerefeld der Erde, ja. Sonst nein.

Zitat:

Die Geschwindigkeit ist Beschleunigung * Zeit, also v=g*t.

Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit 0, ja. Sonst nein.

Zitat:

g ist also v/t. Eingesetzt in m*g*h ist E = m*g*h = m*h*v/t = m*v*h/t

Einverstanden.

Zitat:

h/t ist aber wieder die Geschwindigkeit, also v=h/t.

Nein, das gilt nur, wenn die Geschwindigkeit konstant ist.
Du hast aber eine beschleunigte Bewegung vorausgesetzt.

Zitat:

Es bleibt E = m*v*v

Damit ist diese Folgerung unzulässig.

Herleitung für diesen Spezialfall:
Lässt Du einen Körper mit der Masse m im Erdschwerefeld fallen, so führt er eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Beschleunigung g=9,81 m/s² durch, für die gilt:
(Gl. 1)

Diese Gleichung ist eine Ursprungsgerade. Der zurückgelegte Weg nach der Zeit entspricht der Fläche unter der Kurve. Denn teilt man das gesamte Zeitintervall in sehr feine Zeitintervalle ein, so legt man in diesem Zeitintervall die Teilstrecke:

zurück. Wenn das Zeitintervall klein ist, so kann man das Wegstückchen mit dem Flächeninhalt unter der v-Kurve identifizieren. Summiert man alle Flächenstücke auf, erhält man bei dieser spezielle Bewegung eine Dreiecksfläche.

Die Dreiecksfläche unter dem Graphen entspricht also dem zurückgelegten Weg. Nach der Zeit t hat man die Geschwindigkeit v und den Weg:
(Gl. 2)

Mit (Gl. 1) folgt daraus:
(Gl. 3)

Wenn Du diese Gleichung mit durchmultiplizierst, erhältst Du:
(Gl. 3)


Viele Grüße
Michael



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autor237



Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509

Beitrag autor237 Verfasst am: 27. Apr 2020 21:36    Titel: Antworten mit Zitat

@Wissensdurstig

nach Eingabe "kinetische Energie herleiten" bei google erhält man sofort:

[jh8979: Werbrelink gelöscht.]

ist also nicht so schwierig.
xyz^2
Gast





Beitrag xyz^2 Verfasst am: 28. Apr 2020 00:50    Titel: Antworten mit Zitat

Ich verstehe das alles nicht so sehr grübelnd
Mariann
Gast





Beitrag Mariann Verfasst am: 28. Apr 2020 01:19    Titel: mag Pommes 69 Antworten mit Zitat

@xyz^2 Was genau ist dir denn unklar?
Micha_Zweifler
Gast





Beitrag Micha_Zweifler Verfasst am: 29. Apr 2020 23:38    Titel: Antworten mit Zitat

autor237 hat Folgendes geschrieben:
@Wissensdurstig

nach Eingabe "kinetische Energie herleiten" bei google erhält man sofort:

--

ist also nicht so schwierig.


Hallo autor237: Nein! Das bringt nix. Denn da wird die Geschwindigkeit hergeleitet mit



Gleiches Problem: Woher kommt der Faktor 1/2? Klar komme ich damit nach entsprechender Umstellung auf



Aber das löst das Problem nicht.

@ML: Danke - das klingt vielversprechend. Ich muss darüber nachdenken.
Ich bin 50 Jahre alt, hatte Mathe+Physik Leistungskurs und habe Elektrotechnik studiert und die Formel 1000x benutzt und damit gerechnet - nur erklären konnte mir bisher niemand den Faktor 1/2. Auch mein Physiklehrer damals nicht. Ich habe schon oft und immer wieder versucht der Sache auf den Grund zu gehen.. Und im Internet finde ich keine entsprechende Lösung.

Wenn ich mit Deiner Erklärung klarkomme gebe ich Dir ein virtuelles Bier aus :-)
Micha_Zweifler
Gast





Beitrag Micha_Zweifler Verfasst am: 30. Apr 2020 00:13    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo ML - ich glaube ich habe es tatsächlich verstanden! Nach mehr als 30 Jahren.. unglaublich.

Ok, der Knackpunkt ist, dass die Geschwindigkeit in der Formel



keine konstante Geschwindigkeit ist, sondern eine beschleunigte, also sich ändernde Geschwindigkeit.

Dass die Fläche unter der v-Geraden nach der Zeit dem zurückgelegten Weg entspricht, ist mir klar. Bei konstanter Geschwindigkeit verläuft die v-Gerade parallel zur Zeitachse, diese Fläche wäre ein Rechteck. Da die Geschwindigkeit aber hier durch die (hier gleichmäßige) Beschleunigung stetig ansteigt, haben wir bei einer Ursprungsgeraden nur noch eine Dreiecksfläche unter der v-Geraden als Weg - genau die Hälfte von dem Rechteck bei konstanter Geschwindigkeit. Da isser, der Faktor 1/2..

Passt das so oder habe ich da immer noch einen Denkfehler drin?
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 2609

Beitrag ML Verfasst am: 30. Apr 2020 09:16    Titel: Antworten mit Zitat

Micha_Zweifler hat Folgendes geschrieben:
Passt das so oder habe ich da immer noch einen Denkfehler drin?

Ja, genau. Das 1/2 kommt von der Dreiecksfläche bzw. von der Integration. Thumbs up!

Jetzt haben wir uns allerdings nur die Herleitung für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung angeschaut. Weiter oben im Post hat "Namenloser" eine Herleitung gebracht, die allgemeiner gilt. Ich notiere sie etwas anders, aber letztlich kommt das auf das gleiche heraus.

Wir wollen die Arbeit finden, die bei einer Beschleunigung von 0 auf v bewirkt wird.


Hier sieht man dann, dass der Faktor durch die Integration von kommt.


Zuletzt bearbeitet von ML am 30. Apr 2020 13:34, insgesamt einmal bearbeitet
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 539

Beitrag Qubit Verfasst am: 30. Apr 2020 11:55    Titel: Antworten mit Zitat

Micha_Zweifler hat Folgendes geschrieben:

keine konstante Geschwindigkeit ist, sondern eine beschleunigte, also sich ändernde Geschwindigkeit.


Tatsächlich gilt die Formel auch für beliebige Beschleunigungen, nicht nur konstante.

Fragt man einen Fachmann nach dem Faktor 1/2, dann sagt er schlicht wegen der Integration. In der Mittelschule kennt man das nicht und kann es dann mit Mittelwertsbildung für die Geschwindigkeiten erklären, indem man eine beliebige Beschleunigung durch eine Summe gleichförmiger Beschleunigungen ersetzt.

Bekannt sollte sein:



Jetzt kommt durch Mittelwertsbildungen der Faktor 1/2 ins Spiel:



und



Das sollte soweit verständlich sein.

Bewegungsenergie (kinetische Energie) beschreibt - wie der Name andeutet - Beschleunigungsarbeit (siehe Newton F=m*a)

Also gibt es einen Beitrag der Beschleunigungsarbeit je Intervall:



Setzen wir hier F und s ein:




(3. Binomische Formel)

Haben wir jetzt n solcher Beitrage, dann summieren wir auf:



Mit erhält man so die kinetische Energie:



Zuletzt bearbeitet von Qubit am 30. Apr 2020 15:50, insgesamt einmal bearbeitet
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 539

Beitrag Qubit Verfasst am: 30. Apr 2020 13:12    Titel: Antworten mit Zitat

Nur als kleiner Nachtrag, dass es korrekt ist, für die gleichförmige Beschleunigung den Mittelwert der Geschwindigkeit zu nehmen..





autor237



Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509

Beitrag autor237 Verfasst am: 30. Apr 2020 21:55    Titel: Antworten mit Zitat

Micha_Zweifler hat Folgendes geschrieben:

Dass die Fläche unter der v-Geraden nach der Zeit dem zurückgelegten Weg entspricht, ist mir klar. Bei konstanter Geschwindigkeit verläuft die v-Gerade parallel zur Zeitachse, diese Fläche wäre ein Rechteck. Da die Geschwindigkeit aber hier durch die (hier gleichmäßige) Beschleunigung stetig ansteigt, haben wir bei einer Ursprungsgeraden nur noch eine Dreiecksfläche unter der v-Geraden als Weg - genau die Hälfte von dem Rechteck bei konstanter Geschwindigkeit. Da isser, der Faktor 1/2..


Ja, was du hier beschreibst passt zu der Formel:



auf der von mir angegebenen Seite (die vom Moderator jh8979 gelöscht wurde). Dort steht auch, dass diese durch Integration der Formel v=at entsteht. Das ist identisch zu der geometrischen Beschreibung mit der Dreiecksfläche unter der Kurve im v-t-Diagramm. Wenn du Mathe Leistungskurs gehabt hattes und ein Elektrotechnikstudium besucht hast, dann sollte dir die Beschreibung, dass das bestimmte Integral eben die Fläche unter der Kurve im betrachteten Intervall darstellt, bekannt sein.
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