Gravitative Zeitdilatation

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Meine Frage:
Kennt jemand die Formel für die gravitative Zeitdilatation?

Meine Ideen:
?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Es gilt

Dabei bezeichnet
1) tau die Eigenzeit eines Objekts,
2) C eine beliebige (zeit- oder lichtartige) Kurve durch die 4-dim. Ramzeit
3) ta, tb die die Koordinatenzeiten von Anfangs-, Endpunkt von C bzgl. eines Koordinatensystems
4) der Punkt die Ableitung des Vierervektors x nach t (der Nullkomponente von x)
5) g die Metrik der betrachteten Raumzeit (bzgl. des o.g. Koordinatensystems)

Diese Darstellung enthält sowohl die Zeitdilatation aufgrund der Geschwindigkeiten als auch aufgrund der Raumzeitgeometrie. Sie zeigt, dass beide in der ART i.A. nicht getrennt betrachtet werden können.

Man kann aus dieser Formel sämtliche Spezialfälle rekonstruieren, in dem man eine spezielle Metrik g (eine Lösung der Einsteingleichungen für die Raumzeit) sowie eine spezielle Kurve C wählt.

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Kann man die gravitative Zeitdilatation auch berechnen mit t'=t*sqrt(1-2GM/rc²) ?

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Ja, bei einem Zentralpotential.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Nun, du musst die spezielle Metrik g (im Falle des Schwerefeldes der Erde die Schwarzschildmetrik) einsetzen.

http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation#Outside_a_non-rotating_sphere

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Ergänzung: die Formel

stellt noch keine Zeitdilatation dar, sondern lediglich die Eigenzeit eines Beobachters entlang einer Kurve C.

Die Zeitdilatation ergibt aus dem Vergleich zweier Eigenzeiten zweier Beobachter 1 und 2

entlang zweier Kurven C1 und C2 mit gemeinsamen Anfangs- und Endpunkten. Liegen keine gemeinsamen Anfangs- und Endpunkte vor, so kann man dies künstlich erreichen, indem man diese durch Lichtstrahlen verbindent (die sozusagen der Uhrensynchronisation bzw. Zeitübermittlung dienen). Dabei werden die Kurven C sozusagen durch die lichartigen Kurvenstücke verlängert; entlang dieser lichtartigen Kurvenstücke vergeht keine Eigenzeit (!) d.h. Delta tau bleibt unverändert (erst durch diese Argumentation wird klar, warum überhaupt der Gang zweier Uhren auf unterschiedlicher Höhe im Gravitationsfeld vergleichen werden kann)

Oft findet man Formeln für die gravitative Zeitdilatation, in die die Koordinatenzeit t eingeht. Im Falle der Schwarzschildmetrik entspricht t der Eigenzeit eines Beobachters im Unendlichen; erst dadurch kann gerechtfertigt werden, dass bzgl. t eine Zeidilatation berechnet wird (i.A. ist t eine unphysikalische Größe; nur die taus sind messbar und damit physikalisch relevant)

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Wie wäre denn der Zeitdehnungsfaktor bei einem Neutronenstern mit 12 km Radius und 1,75 * Sonnenmasse.
Der Zeitdehnungsfaktor beträgt 0,7545.
10 Jahre im Weltraum wären also 7,545 Jahre auf dem Neutronenstern.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Der Zeidilatationsquotient für einen ruhenden Beobachter im Abstand r bezogen auf einen hypothetischen (ebenfalls ruhenden) Beobachter im Abstand Unendlich für die Schwarzschildmetrik (allgemein) bzw. speziell für einen Neutronensternes beträgt

Dabei entspricht U(r) dem Gravitationspotential der Zentralmasse M

Einsetzen - fertig

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Man kann doch auch erst die 2. Kosmische Geschwindigkeit berechnen, also "v". Und dann weiter mit der Formel t'=t*sqrt(1-v²/c²) verfahren?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Nein, kann man nicht, denn
a) die Fluchtgeschwindigkeit nach der Newtonschen Theorie hat nichts mit der gravitativen Zeitdilatation im Kontext der ART zu tun; und
b) die Zeitdilatation aufgrund einer Geschwindigkeit ist nicht das selbe wie die Zeitdilatation im Gravitationsfeld.

Das sollte aus meinen obigen Beiträgen aber eigtl. klar werden.

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Aber ich habe schon Rechnungen durchgeführt, bei denen das geklappt hat.
Denn die Formel der 2. Kosmischen Geschwindigkeit bzw. Fluchtgeschwindigkeit ist ja "verwandt" mit der der gravitativen Zeitdilatation.

Ich habe auch einen Beitrag im Forum "Abenteuer Universum" hinterlassen.
Da hat es auch funktioniert.

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Die Formel der 2. Kosmischen Geschwindigkeit ist doch sqrt(2GM/r), also wie in der Formel der gravitativen Zeitdilatation.
Dann nur noch durch c² dividieren und man hat den richtigen Wert.

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Ja, das funktioniert immer.
Eine Begründung ist in etwa folgende: Die gravitative Zeitdilatation hat einen direkten Zusammenhang mit der potentiellen Energie eines einfallenden Körpers. Diese ist wiederum gleich seiner kinetischen Energie. Und diese wiederum hat einen direkten Zusammenhang zur kinematischen Zeitdilatation, die der Körper sieht.

Das ist keine Herleitung, nur ein Plausibilitätsargument. Herleiten kann man das über Killingvektoren.

Die Fluchtgeschwindigkeit ist auch nach ART sqrt(2GM/r), deswegen funktioniert auch die Newtonsche Formel.

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Ist denn meine Vorgehensweise richtig?

1. Erst Fluchtgeschwindigkeit also Wert "v" berechnen.
2. Dann Wert der Fluchtgeschwindigkeit (v) in die Gleichung t'=t*sqrt(1-v²/c²) einsetzen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Die Vorgehensweise ist im allgemeinen nicht richtig!!

Im Spezialfall eines sphärisch symmetrischen Gravitationsfeldes funktionieren zufälligerweise die Newtonschen Formeln; d.h. man erhält die korrekte Fluchtgeschwindigkeit; und man erhält für den Ansatz "Fluchtgeschwindigkeit = Lichtgeschwindigkeit" den korrekten Wert für den Schwarzschildradius.

Es gibt aber einige Gründe, warum das i.A. nicht funktioniert:
1) die gravitative Zeitdilatation resultiert für einen bei r=const. ruhenden Körper; dieser hat gerade nicht die Geschwindigkeit v, sondern er ist in Ruhe; v ist also eine hypothetische Geschwindigkeit
2) Effekte bzgl. gravitativer Zeitdilatation und Zeitdilatation aufgrund einer Geschwindigkeit sind beide in den Formeln der ART vereint (siehe meine Beiträge) aber sie treten in völlig unterschiedlicher Form auf
3) die Methode funktioniert sicher nicht, wenn sowohl ein Gravitationsfeld als auch eine Geschwindigkeit vorliegen

Ich würde immer mit der exakten Gleichung starten und diese für den jeweiligen Spezialfall vereinfachen; dann läuft man nicht Gefahr, dass eine für Spezialfälle zufälligerweise korrekte Formel unzulässig verallgemeinert oder angewendet wird.

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Aber mit der Formel in der englischen Wikipedia "Gravitational time dilation" funktioniert das immer?

Gibt es vielleicht eine Internetseite, wo die Werte der gravitativen Zeitdilatation für die Oberfäche der Planeten im Sonnensystem angegeben sind?

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Also müsste man, wenn man richtig vorgehen wollte rechnen:

1. 2*G*M/rc²
2. Dann 1 - (Wert aus Punkt 1.)
3. Dann die Wurzel ziehen.
4. Mit dem errechneten Wert kann man weiter verfahren.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

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Und die Formel, die du angegeben hast funktioniert immer?

Gibt es vielleicht eine Tabelle mit den Werten der Zeitdilatation für die Oberfläche der Planeten des Sonnensystems?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

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Ich stehe gerade auf dem Schlauch, welche Antwort war das nochmal?

Ich frage deshalb, weil es ja auch sein kann, dass die Formel, die du angegeben hast nur für Spezialfälle funktioniert:

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OK! Frage hat sich erledigt!
Danke!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

OK

einfach noch mal meine Beträge lesen; da sollte wirklich alles drin stehen

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In der englischen Wikipedia gibt es noch einen Interessanten Artikel: "Error analysis for the Global Positioning System".

Da wird auch der gravitative Zeitdilatationsunterschied zwischen einem Satelliten und der Erdoberfläche mit der Formel t_0=t_f*sqrt(1-2GM/rc²) berechnet.

Die Frage ist, ob die Berechnungen richtig sind und die richtige Formel angewendet wurde.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

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@jh8979
Du hast mich, denke ich, missverstanden.
Ich wollte nur wissen, ob die Berechnungen auf der englischen Wikipedia richtig sind. Und ob die richtige Formel verwendet wurde.
Es wäre ja nicht das erste Mal, dass Wikipedia Einträge ungenau oder falsch sind.
Deshalb die Frage an die Experten hier!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Die dort angegeben "Herleitung" ist unübersichtlich und unvollständig; sie wird für die benötigte Genauigkeit gelten, ist aber i.A. nicht korrekt. Der Satz

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Ist die Formel, mit der dort die gravitative Zeitdilatation berechnet wurde auch die richtige für diesen Sachverhalt?
Oder wäre da eine andere Formel anzuwenden?

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Mir fällt gerade etwas auf:
Wenn ich die gravitative Zeitdilatation für einen Satelliten in 300 km Höhe berechnen möchte, dann soll ich laut deutscher Wikipedia die Formel t_0=t*2*phi/c²
phi = g*h

Wenn ich die Formel aus der englischen Wikipedia nehme, komme ich nicht auf das selbe Ergebnis wie mit der Formel aus der deutschen Wikipedia.

Habe ich da was übersehen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Eine Formel mit "gh" meint die lineare Näherungen des Gravitationspotential für kleine Höhen h << R. Dabei ist h die Höhendifferenz zwischen Erdoberfläche und Flughöhe des Satelliten.

Die Formel mit "MG/r" enthält das exakte Gravitationspotential für beliebige Radien r bzw. beliebige Höhen h=r-R. Allerdings folgt daraus zunächst die Zeitdilatation bzgl. Radius r und Beobachter im Unendlichen.

Die Herangehensweise in meinem allerersten Beitrag und die daraus abgeleitete Formel gilt für beliebige Beobachter bei beliebigen Radien und beliebigen Geschwindigkeiten. Alles weiteren Spezialfälle sind daraus ableitbar.

Genereller Hinweis: bevor du ständig mit neuen und jeweils leicht anderen Formeln (für andere Spezialfälle) anfängst, solltest du mal eine einzige möglichst allgemeingültige Formel vollständig verstanden haben. Und dann solltest du dich darum bemühen, zu verstehen, wie die Spezialfälle aus der allgemeinen Formel ableitbar sind. Sonst bringt das überhaupt nichts.

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Hallo TomS

Ich habe gerade eben nochmal einen anderen Beitrag erstellt mit der gleichen bzw. ähnlichen Frage.

Was muss ich denn genau in die Formel t_0=t_f*sqrt(1-2GM/rc²) einsetzen?

Bei r setze ich ein = Radius Erde in Metern + 300000 Meter
Der Rest ist ja klar.

Ich komme aber nie auf das richtige Ergebnis.
Mit der Formel T_d=e^(gh/c²) funktioniert es.

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Habe noch eine Frage zur G.-Zeitdilatation

Ich nehme die Formel: t_0=t_f*sqrt(1-2GM/rc²)

Dabei ist t_0 ein Beobachter im Gravitationsfeld?
t_f ist ein Beobachter im Weltraum in absoluter Schwerelosigkeit?

Die Formel t_0=t_f*sqrt(1-2GM/rc²) ist eine allgemein gültige Formel der ART zur Berechnung der gravitativen Zeitdilatation?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Das hatten wir doch schon.

Es handelt sich um die Zeitdilatation für zwei Beobachter, nämlich einen (hypothetischen) ruhenden im Unendlichen sowie einen ruhenden bei Radius r im Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen, nicht-rotierenden Körpers mit Masse M und Radius R < r, d.h. für einen Beobachter außerhalb des Körpers.

Die Formel ist also nicht allgemeingültig, sondern sie gilt für genau diesen von mir beschriebenen Fall.

Sie gilt also z.B. nicht in folgenden Fällen sowie eine Kombination davon
- beide Beobachter bei endlichem Radius r1 und r2 (Beobachte auf der Erde sowie Satellit)
- ein Beobachter nicht in Ruhe (Satellit)
- nicht-kugelsymmetrische Massenverteilung (eine Galaxie)
- Beobachter nicht im Außenraum (innerhalb des Himmelskörpers, der Galaxie, ...)
- rotierender Zentralkörper (*)

(*) dieser Effekt ist im Falle von Planeten extrem klein und kann vernachlässigt werden. Im Falle von Neutronensternen oder schnell rotierenden Schwarzen Löchern muss man die entsprechende Verallgemeinerung verwenden.

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Danke nochmal.

In deiner Erklärung taucht einmal r und einmal R auf. Bedeuten sie den Radius des Himmelskörpers?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

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Müssten nicht r und R identisch sein?

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Edit

Müssten r und R nicht identisch sein, wenn einer Beobachter auf der Oberfläche des Himmelskörpers ist?
Z.B. Erde

R=6378000 m
r= 6378000 m

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

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r bedeutet also: Abstand von der Mitte des Gravitationsfeldes?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Abstand von der Mitte der kugelförmigen Massenverteilung (oder dem Massenpunkt) die das Gravitationsfeld erzeugt