2-Dimensionaler Oszillator: Teilchenbahn etc?

Hobbit92 · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich bin gerade beim 2-Dimensionalen Oszillator und dachte, das sei nicht allzu schwer, da man die zwei Gleichungen ja getrennt betrachten kann. Leider habe ich nun doch einige Fragen und hoffe auf eure Antworten:

Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in der yz-Ebene unter Einwirkung von Kraft (als Vektor) F=-k(0,y,z). k sei größer 0

Nun die Fragen:

i) Bestimmen sie Omega (:=w) und beweisen sie folgende Teilchenbahn: r(t) = (0, Dcos(wt-alpha), Ecos(wt-beta)) mit r(t) ist ein Vektor

ii) Drücken sie z als Funktion von y aus

iii) Zwischen den Koordinaten y und z herrscht folgender Zusammenhang. Zeigen sie, dass er gilt:
E^(2)y^(2)-2DEcos(Q)yz + D^(2)z^(2) = D^(2)E^(2)(sin(Q))^(2) mit Q:= alpha-beta

iv) Welche Kurve Beschreibt die obere Gleichung für die Fälle Q=?/2, Q=0

Hoffe auf eure Hilfe

Grüße
Hobbit92

Meine Ideen:
Meine Ansätze für die Aufgabe:

zu i):

habe ich die Bewegungsgleichungen aufgestellt. Einmal für y und einmal für z

my''=-ky <=> y'' + (k/m)y = 0 <=> y'' + wy = 0

mz''=-kz <=> z'' + (k/m)z = 0 <=> z'' + wz = 0

Diese habe ich dann ebenfalls getrennt von einander gelöst:

DGL-Ansatz: y=e^(l*t) und z=e^(a*t)

abgeleitet und eingesetzt und nach l bzw. a umgestellt:

l_1= +iw, l_2= -iw,
a_1= +iw, a_2= -iw,

=> y(t) = C_1*e^(+iw*t) + C_2*e^(-iw*t)
=> z(t) = C_3*e^(+iw*t) + C_4*e^(-iw*t)

Und ab hier ist dann bei i) das Problem. Selbst wenn ich beachte, dass cos(wt)=0,5(e^(+iw*t) + e^(-iw*t)) und das 0,5 in jeweils eine neue Konstante packe, folgt maximal:

y(t) = Dcos(wt)
z(t) = Ecos(wt)

Die Phasenverschiebung Alpha bzw. beta fehlt mir noch)

w müsste ja durch sqrt(k/m) schon bestimmt sein, oder?
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zu ii)
Muss ja irgendwie z(y) dastehen. Zuerst dachte ich, ich könnte mit einem Theorem nach z.B. cos(wt) umstellen und gleichsetzten. Hat aber irgendwie nicht geklappt.
Wie genau muss ich bei ii) vorgehen? Denn außer das Gleichsetzten der beiden Gleichungen kam mir keine Idee.

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zu iii)
Hier gleiche Idee, wie bei ii). Klappte jedoch auch nicht wirklich, jedenfalls habe ich es nicht hinbekommen y und z Koordinate gleichsetzten zu können.
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zu iv)

wenn ich z.B. Q=0 einsetzte kommt ja folgendes raus:
E^(2)y^(2)-2DEcos(0)yz + D^(2)z^(2) = D^(2)E^(2)(sin(0))^(2)

<=> E^(2)y^(2)-2DEyz + D^(2)z^(2) = 0
(Reicht das bereits, oder muss ich da noch umformen? So ist das keine Kurve, in der Art wie sich sie sonst kenne.)

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Hallo

Bei i machst du dir zuviel Mühe. Man muß ja nur einsetzen
Bei ii Nach wt auflösen und einsetzten
bei iii cos(a+b)=
bei iiii Was kann das für eine Figur werden?
Q hat eine Bedeutung für die Ausrichtung
und was ist bei pi/2? Augenzwinkern

Gruß

Hobbit92 · Gast

Hi,

danke für die Antwort.

zu i)
Gut, wenn ich z.B. y=Dcos(wt-alpha) in meine DGL einsetzte, kommt dann folgendes raus:
-Dw^(2)cos(wt-alpha)+Dwcos(wt-alpha)=0
Das würde = werden, wenn ich im +Term auch w^(2) hätte. Ich denke, dass selbst wenn ich Dw ausklammere, bleibt ein w drinnen stehen und ich darf dann ja nicht addieren, oder?

Für z sieht es genau so aus, jedoch nur mit E anstatt D

zu ii)
y(t)= Dcos(wt-alpha) <=> (x/D)=cos(wt-alpha) <=> wt-alpha=arccos(X/D)
<=> wt=arccos(X/D)+alpha

Dann Einsetzten:
z=Ecos(alpha+arccos(x/D)-beta)
Ist das die Lösung für ii) ?

zu iii)
Def.: Cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

=> Cos(wt-alpha)=cos(wt)cos(alpha)+sin(wt)sin(alpha)
=> Cos(wt-beta)=cos(wt)cos(beta)+sin(wt)sin(beta)

<=> (Cos(wt-alpha)-sin(wt)sin(alpha))/(cos(alpha))=cos(wt)
<=> (Cos(wt-beta)-sin(wt)sin(beta))/(cos(beta))=cos(wt)

Könnte ich nun gleichsetzten, oder?
Wie baue ich noch D und E ein?
Kann ich die einfach so davor schreiben:
DCos(wt-alpha)=Dcos(wt)cos(alpha)+Dsin(wt)sin(alpha)

Oder muss ich etwas anderes machen?

zu iv)

Für Q=0 wir der cos ja 1, sin 0. Für den zweiten Wert für Q, also Q=pi/2 wird der cos 0, und sin 1 daher folgt:

E^(2)y^(2)-2DE*0*yz + D^(2)z^(2) = D^(2)E^(2)(1)^(2)
<=>E^(2)y^(2) + D^(2)z^(2) = D^(2)E^(2)
Naja, wir haben Quadrate drinnen, also wird es vermutlich etwas Parabelförmiges werden, oder?
Ich weiß nicht, was ich da genau zu schreiben soll, welche Kurve beschrieben wird?

Hoffe, ich bekomme wieder eine Antwort.

Gruß
Hobbit

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Hallo

Hobbit92 · Gast

Hi,

Danke für die Hilfe.

zu i)
Meine DGL lautet doch z.B. y'' + (k/m)y = 0

nun würde ich y=Dcos(wt-alpha) zwei mal ableiten:
y'= -Dwsin(wt-alpha)
y''= -Dw^(2)cos(wt-alpha)

oder nicht? und dann habe ich das beschriebene Problem, wenn ich y'' und y in die DGL einsetze.

zu iv)

Welche Kurven sind möglich?
So überlegt, Kreisbogen, und eine Art Schleife

Wenn ich nun E^(2)y^(2) + D^(2)z^(2) = D^(2)E^(2) durch D^(2)E^(2) Teile, kommt aber bei mir folgendes raus:

y^(2)/D^(2) + z^(2)/E^(2) = 1

Bei deinem Ergebnis, könnte ich y und z der Bahnkurve einsetzten und erhalten dann eine Schwingungsform, oder?

Grüße

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Hallo

Also mal einsetzen
-Dw^(2)cos(wt-alpha)+(k/m)*Dcos(wt-alpha)=0
Jetzt kann man w erkennen

Das ist eine Ellipse y^(2)/D^(2) + z^(2)/E^(2) = 1

Hobbit92 · Gast

Danke für die Antwort.

Ich wusste nicht, dass eine Parabel so beschrieben wird. Aber gut, dann weiß ich es jetzt.

Bei i) soll ich zeigen, dass y und z den harmonischen Osszillator beschreiben.
Also müsste doch -Dw^(2)cos(wt-alpha)+(k/m)*Dcos(wt-alpha)=0

Gerade fällt mir der Fehler auf. Ich hatte eigentlich (k/m) = w^(2) gesetzt.
dann ist w= sqrt(k/m) und meine DGL ergibt 0. Hatte einfach das Quadrat dann vergessen...

Das ist jetzt also klar. Danke sehr

zu dem vereinfachen fällt mir nicht mehr ein, außer:

E^(2)y^(2)-2DEyz + D^(2)z^(2) = 0
<=> E^(2)y^(2) + D^(2)z^(2) = 2DEyz

Nun könnte man z.B. /2

<=> (E^(2)y^(2) + D^(2)z^(2))/2 = DEyz
<=> (Ey/2D) + (Dz^(2)/2Ey) = z

Aber was das ist, keine Ahnung. ??
Worauf muss man allgemein achten, wenn man etwas umstellen soll, damit eine Kurve rauskommt?

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Hallo

Hobbit92 · Gast

Hallo,

hab mich verschrieben. Meinte natürlich Ellipse.

Achso? Mal sehen, dann haben wir ja Ellipse und Parabel hier in der Aufgabe.

Ansonsten gibt es allgemein noch:
Kreis ist ja immer etwas mit Sin und cos.

oder sonst, was gibt es noch für mögliche Kurven (neben den Qubischen etc. Funktionen)?

Hobbit92 · Gast

Hallo,

Könntest du mir bitte noch mal bei dem Ausdruck/Beziehung helfen?
Der da lautet: E^(2)y^(2)-2DEcos(Q)yz + D^(2)z^(2) = D^(2)E^(2)(sin(Q))^(2) mit Q:= alpha-beta

Du schreibst:

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Hallo

cos(arccos(y/D))=y/D

sin(arccos(y/D)) das ist was mit einer Wurzel
Wenn du das gefunden hast kannst du die folgende Gleichung quadrieren

Esin(arccos(y/D))sin(Q) =E*y/D*cos(Q)-z

Die Figur hier ist eine Ellipse. Es gibt aber 2 Grenzwerte Augenzwinkern

Bei D=E wird es ein Kreis. Bei Q=0 eine Gerade

Edit: Bei D=E zusammen mit Q=pi/2 wird es ein Kreis

Gruß

Hobbit92 · Gast

Danke sehr für die Antwort.
Ich meinte aber vielmehr, dass D=E und Q=pi/2 gleichzeitig angenommen werden.

Wie ermittle ich aber die Richtung eines Teilchens auf der Bahn?

Wenn z.B. ich immer D=E und zusätzlich Q=pi/2 oder D=E und zusätzlich Q= 2pi/3
setzte, kommt zwar irgendetwas raus, was ich umformen kann und in irgendeine bekannte Gleichungsform ummodeln kann, jedoch die Richtung sehe ich nicht.

Kannst du mir da noch mal helfen?

PS: Dann bin ich fertig und nerve auch nicht mehr :-)

Lokratin · Anmeldungsdatum: 07.01.2013 Beiträge: 64

Wenn ich das jetzt richtig überflogen habe, ist die Antwort ganz banal:

Du musst deine Teillösungen schon wieder als Vektor umformen ;-)

Dann hast du einen Vektor s(t) = (x(t), y(t), z(t))

Der gibt dir zu jedem Zeitpunkt t den exakten Ort an. Das selbe gilt dann für den Vektor v(t), der dir zu jedem Zeitpunkt die Bewegungsrichtung des Punktes angibt.

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Hallo

Ich habe inzwischen gemerkt,daß D=E für einen Kreis nicht reicht
sondern D=E zusammen mit Q=pi/2

Hier kann man sich das Ganze mal anschauen

http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/fkt4.html

VG

Hobbit92 · Gast

Danke sehr für die Antwort, ihr zwei.

Wenn ich D=E setzte und dass dann als A definiere, steht dann da mit Q=pi/2:

A^(2)x^(2) - 2A^(2)*0 + A^(2)y^(2) = A^(4)

oder?

Wenn ich das jetzt auf die Kreisform bringen will:
x²+y²=1

dann teile ich durch A^(4) und erhalte:

x^(2)/A^(2) + y^(2)/A^(2) = 1

Und das ist doch wieder mehr eine Ellipse, oder?

Wie kommt man dann auf Kreis?

Hobbit92 · Gast

Hi,

mir ist wirklich nicht klar, wie du auf Kreis kommst. Bei wird es immer wieder eine Ellipse.

Außerdem bin ich mir mit der Richtung des Teilchens unsicher. In Welche bewegt es sich, rechts rum oder links rum?

Danke und Grüße

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Hallo