Unendlich dehnbares Gummiband

Staubfrei · Gast

Ich stehe vor folgender Aufgabe:

Eine Person geht mit 1 m/s auf einem 10m langen, unendlich
dehnbaren Gummiband dessen eine Seite sich mit 10m/s von
der Person, die sich auf der anderen Seite befindet, wegbewegt.
Erreicht die Person das andere Ende und wenn ja, wann?

Ich weiß nicht wirklich, wie ich das Problem angehen soll, irgendwie sollte man hier ja auf eine Differenzialgleichung kommen. Rein intuitiv würde ich sagen, die Person erreicht das andere Ende nicht.

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5063

tom86 · Anmeldungsdatum: 13.11.2012 Beiträge: 16

t=22025.5s
Zeit wenn er das rechte Ende erreicht. Kann das jemand bestätigen?

Staubfrei · Gast

Danke für die Antwort!

Aber wie komme ich auf die Geschwindigkeit, mit der sich das Gummiband am entsprechenden Ort bewegt?

tom86 · Anmeldungsdatum: 13.11.2012 Beiträge: 16

Mir fallen 2 Wege ein. Zuerst der längere.
Zu Beginn ist das Band l_0=10m lang, wähle einen festen Punkt x_0 (von 0 bis l_0) auf dem Band. Wenn sich das Band dehnt muss das Verhältnis von x_0/l_0 = x(t)/l(t) sein. Die Bewegung des Bandes kennst du und somit auch die Bewegung des Punktes der Anfangs bei x_0 war. Schreib dir die Geschwindigkeit des Punktes hin. Da du aber nicht weisst wo der Punkt am Anfang war, ersetze x_0 durch x(t) in der Gleichung für die Geschwindigkeit für x(t).
Der zweite Weg:

Wenn sich das Band um eine kleine Länge dl verlängert muss sich der Punkt x um einen kleinen Weg bewegen, der proportional zum Verhältnis von x zur Gesamtlänge des Bandes ist. dl/dt ist dann 10 m/s in dem Beispiel.

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5063

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5063

Staubfrei · Gast

Wie genau sieht das dann aus? grübelnd

tom86 · Anmeldungsdatum: 13.11.2012 Beiträge: 16

Sehr elegant mit dem Verhältnis z.B. w(t) = x(t)/l(t) , wenn ich das in meine Differenzialgleichung einsetze, dann muss ich nur noch einmal integrieren.

Staubfrei · Gast

Also irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis... grübelnd

Die Bewegung des Bands ist doch einfach gegeben durch:

l(t) = l_0 + v_l*t = 10 + 10*t

Aber wie sieht denn x(t) richtig aus?

tom86 · Anmeldungsdatum: 13.11.2012 Beiträge: 16

Wie man direkt die Gleichung für die relative Position auf dem Band aufstellt, darüber habe ich noch nicht nachgedacht. Ich habe es so gemacht:

v_p ist die Geschwindigkeit, mit der die Person läuft.
v_l die Geschwindigkeit, mit der das rechte Ende des Bandes sich bewegt.
Für l musst du genau die Bewegung einsetzen die du geschrieben hast.
Zum Lösen kannst du jetzt w=x/l ersetzen. Beachte:

Das ergibt dann oben eingesetzt:

Da l ja einfach von der Zeit abhängt sollte das einfach zu integrieren sein.
Anfangswert für w sollte 0 sein und die Frage ist doch ob w irgendwann 1 wird.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Anschaulich muss man sich überlegen woher denn die "Verlängerung" des Bandes kommt, d.h. wo entsteht die zusätzliche Länge?

Staubfrei · Gast

Also die Rechnung ist jetzt soweit klar, ich bin auf das richtige Ergebnis gekommen. Big Laugh

Vielen vielen Dank für die Hilfe und Erklärungen! Gott

Aber um nocheinmal auf den Ansatz zurückzukommen, also zum Aufstellen der Differenzialgleichung:

Wie kann ich diese richtig interpertieren? Eine infinitesimal kleine Änderung des Ortes der Person setzt sich zusammen aus... ? grübelnd

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5063

Staubfrei · Gast

Ok, vielen Dank. Jetzt habe ich wirklich alles verstanden (was mir hier als besonders erstrebenswert erscheint). Eine schöne Aufgabe! smile