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Physik-Gast
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 Physik-Gast Verfasst am: 09. Nov 2012 21:57 Titel: Greensche Funktion(en) |
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Hallo! 
Folgendes Problem: itp.tu-berlin.de/fileadmin/a3233/upload/WS12_13/TPIII/Uebung2.pdf (wie man sieht, war der Abgabetermin schon, man darf hier also auch gerne Lösungen "spoilern").
4a) Man hat also 2 parallele, unendlich ausgedehnte Platten bei z= 0 und z = d, die geerdet sind. Jetzt soll man sich einen Satz von Basisfunktionen suchen und damit eine passende Green'sche Funktion "zusammenbasteln", unter Berücksichtigung der Randbedingungen.
Ich will mal kurz zusammenfassen, was ich bisher bzgl. Green-Funktion weiß.
1. Es geht im Wesentlichen um die Lösung der Poisson-Gleichung  = - \frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_0})
2. Wenn die Ladungsverteilung im gesamten Raum bekannt ist, kriegt man die triviale Lösung der "normalen" Potentialdarstellung (- Gradient Potential = E-Feld).
3. Wenn die Ladungsverteilung gewissen Randbedingungen unterstellt ist, gilt eine andere Formel:
 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_V \! G(\vec{r}, \vec{r}') \rho(\vec{r}') \, \dd \vec{r}' + \frac{1}{4 \pi} \int_{\partial V} \! [G(\vec{r}, \vec{r}') \frac{\partial \Phi(\vec{r}')}{\partial n'} - \Phi(\vec{r}') \frac{\partial G(\vec{r}, \vec{r}')}{\partial n'}] \, \dd \vec{r}')
(Folgt aus dem Greenschen Theorem).
Welche eindeutig wird, wenn das Potential am Rand (Dirichlet-RB) oder die Feld-Normale am Rand (Neumann) bekannt ist.
4. Außerdem ist  = -4 \pi \delta(\vec{r} - \vec{r}'))
Bzw.  = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|})
Ok. Aber was ich jetzt NICHT verstehe ist, wie man die passende, eindeutige Green-Funktion nun konstruiert. Laut Aufgabenstellung, indem man eine passende Basis findet. Nur woher kommt man jetzt auf einmal auf Basisfunktionen?! Eine Beispielrechnung wäre vielleicht mal nicht verkehrt (wie gesagt, Abgabedatum war ja schon, ist also keine Hausaufgabe). Ich würde das gerne verstehen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586
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| jh8979 Verfasst am: 10. Nov 2012 05:21 Titel: Re: Greensche Funktion(en) |
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Ich denke Du hast es noch nicht ganz verstanden, aber ich verbesser einfach mal ein wenig, ohne ganz von vorne anzufangen:
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: |
1. Es geht im Wesentlichen um die Lösung der Poisson-Gleichung
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Ja.
| Zitat: |
2. Wenn die Ladungsverteilung im gesamten Raum bekannt ist, kriegt man die triviale Lösung der "normalen" Potentialdarstellung (- Gradient Potential = E-Feld).
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Jein, es geht nicht darum ob die Ladungsverteilung bekannt ist, das wird vorausgesetzt. Es geht darum wie die Randbedingungen aussehen, bzw ob es ueberhaupt einen Rand gibt (ausser im unendlichen).
| Zitat: |
3. Wenn die Ladungsverteilung gewissen Randbedingungen unterstellt ist, gilt eine andere Formel:
(Folgt aus dem Greenschen Theorem).
Welche eindeutig wird, wenn das Potential am Rand (Dirichlet-RB) oder die Feld-Normale am Rand (Neumann) bekannt ist.
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Das ist diesselber Formel wie fuer den Fall ohne Randbedingugen, nur dass dort der Rand ins Unendliche geht (und dort das Potential und seine Ableitung verschwindet).
| Zitat: |
4. Außerdem ist
Bzw.
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Das ist fast richtig. Man kann zur Greensfunktion noch eine beliebige Funktion F addieren, fuer die gilt  . Und dies muss man in der Regel auch tun, damit die Randbedingungen erfuellt werden. Im Dirichlet=Fall:  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586
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| jh8979 Verfasst am: 10. Nov 2012 05:39 Titel: |
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| Zitat: |
Ok. Aber was ich jetzt NICHT verstehe ist, wie man die passende, eindeutige Green-Funktion nun konstruiert. Laut Aufgabenstellung, indem man eine passende Basis findet. Nur woher kommt man jetzt auf einmal auf Basisfunktionen?! Eine Beispielrechnung wäre vielleicht mal nicht verkehrt (wie gesagt, Abgabedatum war ja schon, ist also keine Hausaufgabe). Ich würde das gerne verstehen. |
Unter Umstaenden kann das Konstruieren der Greenschen Funktion sehr umstaendlich sein. Ich geh mal davon aus, dass es hier nur um den Fall fuer Dirichlet Randbedingungen geht. Im einfachsten Fall addiert man einfach ein passendes F wie in meinem post oben erwähnt: das ist genau die Methode der Spiegelladungen.
In Deinem Fall ist es ein wenig komplizierter. Eine Moeglichkeit ist die folgende:
Da Du moechtest dass die Greensche Funktion bei z=0 und z=d verschwindet, ist es am besten sich einen Satz vollstaendiger Funktionen zu finden die bei z=0,d verschwinden. Hier bieten sich dann verschiedene Sinuse an. Anschliessend sowohl die Greensche Funktion in diesen Funktionen entwickeln als auch die Delta-Funktion mit diesen Funktionen darstellen. Beides in die Gleichung fuer G einsetzen und dann die entstandene Gleichung fuer die Komponenten lösen...
Das ist vermutlich arg abstrakt, aber im wesentliche willst Du Formeln benutzen wie:
 = \frac{1}{2\pi} \int d k_x e^{i k_x (x-x')}
<br />
)
 = \frac{2}{L}\sum_{n=1}^{\infty} \sin(n\pi z/d) \sin(n\pi z'/d)
<br />
)
und G entwicklen in
) |
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Physik-Gast
Gast
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| Physik-Gast Verfasst am: 10. Nov 2012 17:13 Titel: |
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Danke für deine recht ausführliche Antwort. Jetzt habe ich es etwas besser verstanden. Aber wie sieht denn nun explizit die Lösung für 4a dann aus? Da steht ja bereits eine Green-Funktion mit angegeben?! Was soll man da denn konkret noch machen?  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586
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| jh8979 Verfasst am: 10. Nov 2012 18:49 Titel: |
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Man soll diesen Ausdruck fuer die Greensche Funktion herleiten. |
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