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Gast
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 Gast Verfasst am: 26. Aug 2005 21:28 Titel: Lagrangefunktion eines gedrehten Fadenpendels |
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Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir bei der aufstellung einer Lagrangefunktion helfen. Die Aufgabe nervt mich schon etwas länger.
Folgende Bewegung:
Stellt euch zunächst ein einfaches Fadenpendel vor, das in einer Ebene schwingt.
Nun wird das Fadenpendel (genauer die Schwingungsebene) durch eine konstante Winkelgeschwindigkeit gedreht.
Im letzten Schritt ersetzt ihr den Faden durch eine Feder.
Ich hab bei den Zwangsbedingungen schon Schwierigkeiten, da ich mit der Feder nicht klar komme.
Wie sieht nun die Lagrangefunktion aus?
Könnt ihr mir Helfen?
Danke |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 26. Aug 2005 22:23 Titel: |
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Huhu!
Okay erstmal müssen wir uns ja erstmal die passenden verallgemeinerten Koordinaten hernehmen. Da sollten Kugelkoordinaten super sein.
also irgendwie sowas: 
So kriegst du ja die Zwangsbedingung mit der konstanten Winkelgeschwindikgiet sofort weg: 
Sooo, wenn ich das richtig sehe wars das ja auch schon alles an Zwangebedingung.
Die Geschichte mit der Feder kriegst du halt über das Potential mit rein. Da hast du ja einmal das Gravitationspotential, also irgendwie  oder so und dann noch die Feder die dann ja nur in r-Richtung wirkt also irgendwie  .
Damit hätten wir dann ja eigentlich alles was wir brauchen.
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hugo123
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| hugo123 Verfasst am: 04. Jul 2006 14:43 Titel: |
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Hallo,
können wir das Beispiel vielleicht für ein paar Formalismen durchrechnen? Ich bräucht da mal ein bisschen Hilfe.
(i) Lagrange 1:
) (Allgemein die kinetische Energie in Kugelkoordinaten)
-mg\cos{\vartheta}-\frac{1}{2}Dr^2)
Zwangskräfte verarbeiten: 
Mit:  und 
=m \ddot{r})
=mr^2 \ddot{\vartheta}+2mr\dot{r} \dot{\vartheta})
= mr^2\sin^2{\vartheta}\ddot{\varphi} +m2r\dot{r}\sin^2{\vartheta}\dot{\varphi} +mr^2\dot{\varphi}2\sin{\vartheta}\cos{\vartheta}\dot{\vartheta})
Einsetzten der ZB in die drei Gleichungen:
, , , da =\omega)
Dann setzt man das ein und hat dann 2 Glaichungen mit  und eine in abhängigkeit von  .
Was macht man denn dann?
(ii) Lagrange 2:
Ist doch eigentlich so wie Lagrange 1 nur dass man die Zwangsbedingungen vor dem Ableiten, durch generalisierte Koordinaten, in die Funktion mit einbaut, oder?
-mg\cos{\vartheta}-\frac{1}{2}Dr^2)
Dann zur Euler-Lagrange-Gleichung ableiten mit  , mit 
Dann komm ich aber auf dasselbe wie Lagrange 1 nur das alle Gleichungen null sind.
Dann gibts ja noch Hamilton und Hamilton-Jaccobi. Aber mich interessiert erstmal wie es bis jetzt aussieht. Wahrscheinlich ist ja schon die Lagrangefunktion falsch. |
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hugo123
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| hugo123 Verfasst am: 05. Jul 2006 13:34 Titel: |
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Mag da keiner drüberschauen?  |
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 06. Jul 2006 22:34 Titel: |
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Huhu!
Also in der Potentiellen Energie im homogenen Gravitationsfeld hast du nen Faktor r vergessen. Es gilt ja  und in Kugelkoordinaten ist  . Du kriegst also demensprechend noch nen Term mehr in der Euler-Lagrange-Gleichung für  bzw da wos fehlt musses noch hin ^^
Naja die Unterteilung in Lagrange 1 und 2 kenn ich garnicht. Ich hab das einfach als Methode der Lagrangschen Multiplikatoren gelernt, also das was du Lagrange 1 nennst. Naja jedenfalls ist das hier nicht richtig  , hast da wohl falsch abgeleitet.
Allerdings ist es eh praktischer so zu machen wie du es unter Lagrange 2 machst. Hast ja schon die passenden Koordinaten die deine Zwangsbedingungen respektieren, wenn du einfach setzt.
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hugo123
Anmeldungsdatum: 03.07.2006
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| hugo123 Verfasst am: 08. Jul 2006 19:24 Titel: |
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Ja, da hast du recht, aber ich habe bei dem Potential immernoch Bauchschmerzen.
Ok, der Teil mit der Feder ist klar. Dann hat man noch:  , wo ich das r vergessen hatte. Das mag ja so weit richtig sein, aber ist r nicht abhängig?
Sagen wir mal das Pendel hat die Länge L (groß), in der Ruhelage. Wenn es sich dreht, wird die Feder etwas länger mit l (klein).
Dann hätte man )
Jetzt das Ganze noch auf die z-Achse projeziert veringert sich das wieder um: \cos{\varphi})
zu: -(L+l)\cos{\varphi}]=mg(L+l)(1-\cos{\varphi}))
Damit kommt man dann auf eine andere Lagrangefunktion:
^2\dot{\varphi}^2+(L+l)^2\sin^2{\varphi}\omega^2)-\frac{1}{2}Dl^2-mg(L+l)(1-\cos{\varphi}))
Was meinst du?
Ich habe die Winkel  und  mal getauscht, weil in der Literatur immer der azimutale Winkel ist. |
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 08. Jul 2006 19:45 Titel: |
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Ne, das war so schon richtig mit dem Potential.
Also soweit bist du ja schonmal noch richtig  
Aber dann geht es mit deiner Projektion auf die z-Achse durcheinander.
Wenn  die Länge des Pendels sein soll. Dann musst du da direkt die Projektion auf die z-Achse ausrechnen, bzw halt die z-Komponente. Und da kannst du dich einfach dran erinneren, wie man von Kugelkoordinaten in kartesische Umrechnet:
Also:
Und r ist der Abstand vom Ursprung, also hier nun gerade .
Aber Bauchschmerzen hattest du wohl zurechgt ^^ Weil so wies vorher da stand, wär die Ruhelage von der Feder ja gerade bei  . Aber das will man ja wohl nicht haben, ist ja auch nicht realistisch, so mit dem ist das schon besser
Also mit \cos{\vartheta}+\frac{1}{2}Dl^2) müsstest du richtig liegen. (Ich hoffe ich hab nu noch den richtigen Winkel ^^)
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hugo123
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| hugo123 Verfasst am: 09. Jul 2006 12:26 Titel: |
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Wäre das Potential dann nicht aber "verdreht"?
Vielleicht kann man sich das auch anders klar machen. Wenn das Pendel nur hängt, ist der Winkel 0. Nach \cos{(\varphi =0)}) wäre das Potential an dieser Stelle dann aber Maximal!
Das kann doch irgendwie nicht sein. Das Potential müsste doch eher Maximal sein, wenn das Pendel voll ausgelenkt ist, also sich bei 90° befindet.
Also })=Min) und })=Max)
Oder man dreht die z-Achse!?  |
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 09. Jul 2006 14:46 Titel: |
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Hmm, du hast wohl recht Ich sollt dir garnicht dazwischenreden, kannst das ja eh schon besser als ich 
Also die positive z-Achse geht bei uns ja nach unten, deswegen sollte man da mindentestens noch nen Minus vorpacken.
Aber bei den  bin ich nicht ganz sicher. Weil damit verschiebst du ja den Potentialnullpunkt. Aber weil du da ja noch das  drin hast, was sich mit der Zeit ändern wird, würde sich dadurch auch der Potentialnullpunkt mit der Zeit ändern.
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