Operator: Relation zeigen

ein_gast · Gast

Es sei der Translationsoperator T gegeben, sodass gilt:

, der die Wellenfunktion f(x) von x nach

verschiebt.

Dargestellt mittels Impulsoperator p:

Jetzt soll gezeigt werden, dass

Mit dem Ortsoperator x.

Meine Idee: Die Reihendarstellung der Exponentialfunktion verwenden. Sprich:

Dann hätte ich also:

Und:

Bevor ich weitermache: Ist das denn so überhaupt erstmal der richtige Ansatz? Würde mich über ein kleines Feedback sehr freuen.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Mach die Reihenentwicklung nur bis 1. Ordnung und das was du da als Kehrwert von T schreibst, ist eigentlich adjungierte T.

ein_gast · Gast

Also beim linearen Glied abbrechen?

Und wie geht man mit dem adjungierten Operator genau um? Das Thema ist komplettes Neuland für mich. Würde mich über ein paar Tipps freuen.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Das ganze ist ein Thema, was man aus dem Buch/Vorlsesung lernen soll.
Für diese Aufgabe wird allerdings dir reichen, wenn du weiß, dass für eine komplexe Zahl z gilt

d.h. z wird einfach komplex-konjugiert und Impulsoperator ist selbstabjungiert

Vielleicht kann TomS es ausführlicher für dich beschreiben, er gibt öfter ausführlichere Antworten zu QM-Fragen.

ein_gast · Gast

Ich werde mich da heute noch reinlesen. Aber fürs erste will ich erstmal die Aufgabe lösen.

Also wenn ich das dann richtig verstanden habe, ändert sich im Prinzip nur das Vorzeichen im vorliegen Fall. Also:

Sodass ich dann letztens Endes habe:

(Reihendarstellung abgebrochen nach dem linearen Glied)

Sodass dann

Müsste so stimmen, oder?

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Ja, aber im letzen Schritt solltest du explizit ausmultiplizieren und dabei auf die Reihenfolge achten.
PS: Für

Symbol kannst du in Latex \dagger Befehl nutzen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Zunächst verwendest du

Dann ist

Dafür gibt es eine exakte Darstellung mittels des Hadamard-Lemmas als Folgerung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

mit dem n-fachen Kommutator

Die Identität sieht man durch explizites Ausmultiplizieren, Umsortieren und vollständige Induktion.

Im Falle von x und p ist das ziemlich simpel, da bereits der erste Kommutator eine c-Zahl ergibt, sodass alle weiteren Kommutatoren gleich Null sind. Das Hadamard-Lemma gilt jedoch für beliebige Operatoren A und B anstelle von x und p und hat damit eine große Bedeutung in der QM.

http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula#The_Hadamard_lemma