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gesundesHalbwissen
Anmeldungsdatum: 16.10.2013
Beiträge: 1
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 gesundesHalbwissen Verfasst am: 16. Okt 2013 15:20 Titel: Hermitesche Matrix - hermitescher Operator |
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Meine Frage:
In der Literatur findet man immer wieder kommentarlos die Aussage, dass eine Matrix genau dann hermitesch ist, wenn für das Standardskalarprodukt  ein hermitescher Operator ist, also 
Meine Ideen:
Warum ist das so einfach/offensichtlich? Ich zerbreche mir darüber schon den ganzen Nachmittag den Kopf und stehe wohl auf dem Schlauch. Gibt es irgendwo Literatur mit Erklärung oder Beweis, oder ist das vollkommen trivial? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 16. Okt 2013 16:14 Titel: |
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Das ist die Definition von "hermitesch".
PS: Wenn du stattdessen hermitesch als  definierst, dann ist der Beweis Deiner Aussage auch nur eine Zeile lang. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 16. Okt 2013 16:27 Titel: |
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m.E. ist das die Definition von "symmetrisch"
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 16. Okt 2013 16:32 Titel: |
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Wenn Du mit symmetrisch  meinst, dann ist das mit diesem Skalarprodukt (offensichtlich  )  . |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 16. Okt 2013 17:17 Titel: |
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Anders formuliert: Eine Matrix ist nichts anderes als die Darstellung eines Operators in einer gewählten Basis (wobei ein "Operator" eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen ist).
Man definiert Eigenschaften wie "hermitesch" für einen Operator (abstrakt, keine gewählte Basis) und dieselben Eigenschaften für eine Matrix genau dann, wenn sie die Darstellung eines entsprechenden Operators in einer gewählten Basis ist.
Die Definition über den Operator hat den Vorteil, dass sofort klar ist, dass die Definition nicht von der Basis abhängt.
Gruß
MI |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 16. Okt 2013 19:23 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Wenn Du mit symmetrisch meinst, dann ist das mit diesem Skalarprodukt (offensichtlich ;) ) . |
Nein, das passt nicht.
Die Eigenschaft, dass
definiert die Symmetrie des Operators A, und sie ist schwächer als die Bedingung der Selbstadjungiertheit.
Letztere schließt u.a. den Definitionsbereich der beiden Operatoren im Raum bzw. Dualraum mit ein. Die Frage, ob ein symmetrischer Operator selbstadjungiert ist wird mittels der Cayley-Transformierten bzw. der Defektindizes beantwortet. Ein symmetrischer Operator, der nicht selbst adjungiert ist, jedoch eine selbstadjungierte Erweiterung zulässt, wird wesentlich-selbstadjungiert genannt. Dies zeigt man wieder mittels der Cayley-Transformierten bzw. der Defektindizes. Ein symmetrischer, auf dem gesamten Hilbertraum definierter Operator ist selbstadjungiert; ein solcher Operator ist außerdem beschränkt. Beschränkte symmetrische Operatoren heißen auch hermitesch.
Im endlich-dimensionalen Fall fallen alle Fälle zusammen, aber im unendlich-dimensionalen Fall existieren symmetrische, jedoch nicht-selbstadjungierte Operatoren, sowie symmetrische jedoch nicht wesentlich-selbstadjungierte Operatoren. Problematisch wird es für den Fall unbeschränkter Operatoren – und das sind leider fast alle Operatoren in der QM. Der Fall, dass ein Operator zwar symmetrisch, jedoch nicht wesentlich-selbstadjungiert ist gilt z.B. für den Impulsoperator auf dem L²[0, +∞[.
http://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator
http://en.wikipedia.org/wiki/Extensions_of_symmetric_operators
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 16. Okt 2013 19:27 Titel: |
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Du haettest einfach sagen koennen, dass Du nicht A^T=A meinst.
(und dass Du Mathematik und keine Physik betreiben willst ) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 16. Okt 2013 19:45 Titel: |
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Aber das ist Physik - nur weiß es leider fast keiner: freies Teilchen auf der reellen Halbgeraden: Impulsoperator auf dem L²[0, +∞[
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 16. Okt 2013 20:00 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber das ist Physik - nur weiß es leider fast keiner: freies Teilchen auf der reellen Halbgeraden: Impulsoperator auf dem L²[0, +∞[ |
Das ist trotzdem Mathematik. Du weisst, dass man sich in der Physik um solche Feinheiten so gut wie nie Gedanken machen muss (z.B. kann man cluster dekomposition annehmen und alles in eine endliche Box stecken).
Natürlich sind dann gerade die Fälle, wo es auf die Feinheiten ankommt, besonders interessant... und die Mathematik selber natürlich auch... aber ich glaub nicht, dass der Fragesteller an all dieses gedacht hat |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 16. Okt 2013 21:15 Titel: Re: Hermitesche Matrix - hermitescher Operator |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | ... aber ich glaub nicht, dass der Fragesteller an all dieses gedacht hat ;) |
Hat er wohl nicht, aber man kann ihm das ja nahelegen :-)
Zurück zum Ausgangspunkt:
| gesundesHalbwissen hat Folgendes geschrieben: | ... wenn für das Standardskalarprodukt
ein hermitescher Operator ist, also
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Es ist i.A. einfach falsch, dass diese Eigenschaft des Skalarproduktes einen hermiteschen oder gar selbstadjungierten Operator definiert.
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Wenn Du mit symmetrisch meinst ... |
Selbstadjungiert und symmetrisch sind zwei verschiedene (jedoch verwandte) Eigenschaften.
Man sollte zumindest wissen, dass das i.A. nicht zutrifft, auch wenn man nicht sämtliche Feinheiten versteht. Das ist meine zentrale Aussage.
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Hirschin
Anmeldungsdatum: 16.09.2013
Beiträge: 8
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| Hirschin Verfasst am: 17. Okt 2013 13:24 Titel: |
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| Zitat: | BeitragVerfasst am: 16. Okt 2013 15:20
Meine Frage:
In der Literatur findet man immer wieder kommentarlos die Aussage, dass eine Matrix genau dann hermitesch ist, wenn für das Standardskalarprodukt ein hermitescher Operator ist.
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Zunächst einmal können Matrix und Operator identisch sein, selbstverständlich in einer anderen schreibweise, dennoch sind sie inhaltlich gleich.
Deine in der Aufgabe erstellte Gleichung hat erst einmal nichts mit Selbstadjungiertheit zu tun, da sie der Beweis der Symmetrie der Matrix ist. Selbstredend stehen Selbstadjungiertheit Symmetrie der Matrix nah beieinander, wenngleich auch unterschiedliche Beweise von Nöten sind. |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 17. Okt 2013 18:03 Titel: |
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Ich hatte auch kurz überlegt, ob ich den Unterschied zwischen symmetrisch und selbstadjungiert erwähnen soll, aber da der Fragesteller explizit von "Matrix" sprach, war ich vom endlich dimensionalen Fall ausgegangen.
Aber da Physiker ja auch unendliche Matrizen betrachten, ist das natürlich trotzdem relevant.
Kurzum: Solange du nur beschränkte Operatoren betrachtest, sind die beiden Prinzipien äquivalent, bei unbeschränkten Operatoren wird's dann problematisch, wie TomS schon ausgeführt hat.
Gruß
MI |
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