Zeigen, dass erstes Kepler'sches Gesetz gilt

JSchneider · Anmeldungsdatum: 19.10.2018 Beiträge: 36

Das zweite Kepler'sche Gesetz gilt in jedem Zentralkraftfeld, da Orts- und Kraftvektor parallel sind und der Drehimpuls somit konstant bleibt, das ist ziemlich einfach zu zeigen. Ähnlich würde ich das Dritte über mechanische Ähnlichkeit zeigen. Wie aber geht das mit dem Ersten? Ich weiß, dass hierfür der Energiesatz im Zentralfeld erfüllt sein muss, also könnte ich doch r am Perihel (

) und Aphel (

) mithilfe der Ellipsenfunktion

bestimmen und in den Energiesatz stopfen um zu gucken ob die beiden gleich sind, oder? Problem: Auch wenn ich das für das Newton'sche Gravitationspotential tue, kommen unterschiedliche Sachen raus, was da ja nicht passieren dürfte.

Ich könnte alternativ vielleicht noch gucken, ob das effektive Potential ein Minimum besitzt, oder? grübelnd

Würde aber nicht zwangsweise gebundene Bahnen ausschließen wenn ich keinen Knoten im Hirn habe.

Könnte mir jemand helfen und ein Vorgehen erläutern, wie man das erste Kepler'sche Gesetz zeigt/prüft? Ich steh hier mächtig auf dem Schlauch.

Ich wünsche euch noch einen schönen Sonntag.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Zunächst zu den Voraussetzungen: gegeben ist das Newtonsche Gravitationspotential ~ 1/r.

Zum Beweis: zu zeigen ist, dass die Bahnkurve r(φ) einer Ellipse mit Brennpunkt in r=0 entspricht.

1) Die Bahnkurve

folgt mittels Lösung der Bewegungsgleichung.

2) Dies entspricht der Polarform einer Ellipsengleichung.

Was genau ist bei dir nun gegeben, und was genau musst du zeigen?

Musst du (1) beweisen, d.h. die Bewegungsgleichung lösen? Oder reicht es aus, zu zeigen, dass (1) die Bewegungsgleichung löst? Falls letzteres, dann musst du die Bewegungsgleichung herleiten und zeigen, dass die gegebene Bahnkurve eine Lösung ist.

Musst du (2) zeigen, also dass diese Bahnkurve einer Ellipsengleichung entspricht?

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Eine sehr elegante Herleitung des 1. Keplerschen Gesetzes erfolgt, indem man zunächst zeigt, dass bei Zentralfeldern zusammen mit der Drehimpulserhaltung die Konstanz des sog. Lenz-Runge-Vektors folgt. Die Planetenbahnen ergeben sich dann einfach aus dem Ausdruck für den Betrag dieses Vektors.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Das ist ziemlich fortgeschritten (und gilt nur für spezielle Zentralfelder)

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Ja, nämlich für 1/r-Potentiale, also genau die Potentiale, die man man beim Keplerproblem betrachtet. Der mathematische Aufwand ist beim Weg über den Lenz-Runge-Vektor halt sehr klein, letztlich macht man nur einfache Vektoroperation.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Man muss erst mal auf die Existenz dieser Erhaltungsgröße kommen; das ist nicht trivial.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Für Theoretiker mag es vielleicht interessant sein, wo diese Größe herkommt, aber um diese Aufgabe zu lösen, reicht es eigentlich zu zeigen, DASS der Vektor konstant.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Es ist ziemlich sinnlos, sich den Teil des Beweises rauszupicken, den man irgendwie kennt oder mag, und die anderen Teile als gegeben anzunehmen.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Ich verstehe ehrlich nicht dein Problem. Wichtig ist allein zu zeigen, dass der LR-Vektor konstant ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Es gibt kein grundsätzliches Problem, nur die Frage

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Es reicht wenn die 1/r-Form des Potentials gegeben ist, in dem sich ein Massepunkt bewegt....

JSchneider · Anmeldungsdatum: 19.10.2018 Beiträge: 36

Erstmal danke für die vielen Antworten.

Also den Laplace-Lenz-Runge-Vektor haben wir in der Vorlesung erwähnt, aber wirklich damit gearbeitet haben wir bis dato noch nicht.

Ich habe z.B. ein abgeändertes Zentralkraftfeld wie folgt gegeben:

Nun ist gefragt ob das erste und zweite Kepler'sche Gesetz dafür gelten. Das zweite tut es aufgrund der Drehimpulserhaltung; aber beim Ersten hab ich keinen Plan für ein möglichst geschicktes Vorgehen außer vielleicht dem Energieansatz über die Ellipsenfunktion.

Und wie argumentiere ich im Fall von KG 1 für den Fall, dass hier das gewöhnliche Newtonsche Gravitationspotential gegeben ist? Muss ich dann die Bewegungsgleichung für das zugehörige effektive Potential aufstellen und komplett lösen?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Achso.... Ok, dann zeig doch einfach, dass das effektive Potenzial die Form:

V_eff = k/r²

hat. Diese Funktion hat keine "Mulde" in dem sich ein Teilchen bei konstanter Gesamtenergie zwischen zwei Radiuswerten bewegen kann. Die einzige Lösung für eine gebundene Bahn ist also r = const: eine Kreisbahn.

Nils

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Also was ist jetzt zu zeigen? Dass bei Kepler Ellipsenbahnen vorliegen? Oder dass im letztgenannten Fall keine solchen Bahnen vorliegen?

Im erstgenannten Fall kannst du entweder zeigen, dass die o.g. Ellipsengleichung unter Beachtung der Drehimpulserhaltung eine Lösung der Bewegungsgleichung darstellt, oder dass die elliptische Bahn aus dem Lenz-Runge-Vektor folgt.

Im letztgenannten Fall ist der Lenz-Runge-Vektor keine Erhaltungsgröße, jedoch reicht dies für den Beweis, dass keine Ellipsengleichung vorliegt, nicht aus. Eine andere Möglichkeit wäre, zu zeigen, dass keine Ellipsengleichung eine Lösung der Bewegungsgleichung darstellt; dazu musst du jedoch auch verschobene Ellipsen berücksichtigen, d.h. du darfst nicht annehmen, dass der Brennpunkt bei r=0 sitzt. Der Ansatz von Nils ist ebenfalls ausreichend, nämlich dass keine „rückstellende Kraft“ existiert, so dass keine oszillierende Bewegung zwischen minimalem und maximalem Bahnradius möglich ist.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259