Trägheitstensor allgemein

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Meine Frage:
Hallo,
Ich verstehe einfach nicht so ganz, was dieser Trägheitstensor sein soll. Als erstes ist mir schon die genaue Definition eines Tensors unklar. Was ist denn der Unterschied zu einer Matrix?
Des weiteren kann ich nicht so ganz nachvollziehen, wie man auf den Trägheitstensor kommt bzw. wozu er genau gut ist...
Könnte mir das jemand grob erklären?
Viele Grüße
Nima93

Meine Ideen:
bin momentan vollkommen ratlos unglücklich

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Also ein Tensor ist eine Matrix die zusätzlich noch vorgegebenen Transformationsregeln gehorcht. Meistens ist der unterschied aber eigentlich völlig egal. Manchmal habe ich in Büchern auch als Erkläerung einfach "ist praktisch eine Matrix" gelesen.
Der Trägheitstensor gibt dir ganz allgemein das Verhältnis von Drehimpuls zu Winkelgeschwindigkeit eines sich drehenden Körpers.
Die Herleitung ist eigentlich ziemlich einfach, schau einfach mal bei http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitstensor rein oder guck in Demtröder 1 oder Nolting klassische Mechanik.

Die Darstellung des Drehimpulses durch ein TrägheitsMOMENT geht halt nur, wenn Drehachse und Impulsachse zusammenfallen, d.h. in die gleiche Richtung zeigen.

Stell es dir einfach so vor:
der Trägheitstensor gibt dir für eine beliebige Drechachse das entsprechende Trägheitsmoment an(dieses ist dann im allgemeinen für alle komponenten verschieden)

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

aha, ok, danke!! dann ist das immerhin wohl nicht ganz so kompliziert, wie ich mir das dachte smile

im nolting hab ichs mir schon angeschaut, allerdings nicht so ganz geblickt... aber ich werds nochmal mit dem demtröder versuchen...

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Du brauchst für die Herleitung eigentlich nur einmal die sogenannte "bac-cab" regel für das doppelte vektorprodukt, danach ist das ganz einfach. Mit den Epsilontensoren ist das eigentluich unnötig, aber ist denke ich beliebterin der theoretischen Physik das so zu formulieren.
Sonst mein Tipp: wenn du es immeroch nicht verstehst, einfach weiter mit beschäftigen und sacken lassen. Nach ner Weile kommt dann wie von selbst das Verständnis.

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

Hallo Nima,

der wichtigste Ansatzpunkt zum Verständnis ist vermutlich diese Formel hier:

Da dreht sich also ein ausgehnter Körper um eine gewisse Achse mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit. Manche Gebiete des Körpers sind deswegen weiter von der Drehachse entfernt, als andere, weswegen der gesamte Drehimpuls des Körpers nicht unbedingt parallel zur Drehachse ausgerichtet sein muss. Bei der konkreten Rechnung hat man dann immer ein bestimmtes Koordinatensystem, in dem der Vektor der Winkelgeschwindigkeit und der Trägheitstensor gegeben sind. Man kann dann über eine Matrizenmultiplikation den zugehörigen Drehimpuls ausrechnen.

Zusätzlich kann man sich noch überlegen, was passiert, wenn man das verwendete Koordinatensystem ändert, z.B. über eine Drehung des Koordinatensystems. Man hat dann ein gestrichenes Koordinatensystem S' und es gibt einen Zusammenhang zwischen

und

, denn anstelle einer Drehung des Koordinatensystems kann man alternativ auch den Vektor drehen. Das Gleiche gilt auch für den Drehimpuls.

Da in allen gedrehten Koordinatensystemen S' ebenfalls die oben angegebene Gleichung gelten soll, hat damit auch die "Matrix" des Trägheitstensors ein bestimmtes Transformationsverhalten, was zeigt, dass diese sogenannte "Matrix" bei einer Koordinatentransformation ihre Werte in den Spalten und Zeilen ändert. Matrizen mit dieser Eigenschaft nennt man Tensoren.
MfG

T.rak92 · Anmeldungsdatum: 25.01.2012 Beiträge: 296

Hi,

der Hauptunterschied bei dem Tensor und einer gewöhnlichen Matrix, ist das eine Matrix eben aus konstanten besteht, die dann in den entsprechenden einträgen stehen, der Trägheitstensor ist aber eine Matrix, wo in den einträgen Integrale stehen, die jeweils von komponenten von radiusvektoren bestimmter massenpunkte abhängen. wenn man jetzt eine Basistransformation durchführt, ändern sich diese komponenten, also ändern sich auch die integrale, die allgemeine form der Matrix bleibt aber erhalten...

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Danke euch allen für eure ausführlichen Antworten!!
Glaube ich habe die Geschichte jetzt ansatzweise verstanden... Werde mich dann mal an ein paar Aufgaben ranwagen...