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Martin Hamburg
Gast
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 Martin Hamburg Verfasst am: 20. Feb 2015 12:52 Titel: Axialsymmetrisches Magnetfeld allgemein ausdrücken per Taylo |
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Meine Frage:
Für ein Seminar muss ich das axialsymmetrische/zylindersymmetrische Magnetfeld allgemein per Taylor ausdrücken. Habe online auch schon eine Lösung gefunden. Nur leider keinen Rechenweg.
Meine Ideen:
Meine Idee ist folgende:
Ich nutze die axialsymmetrische Geometrie aus und entwickle das Feld per Taylor einmal in z-Richtung und einmal in radiale Richtung r (r^2=x^2+y^2). Der Punkt um den ich entwickle ist der Nullpunkt (0,0,0). Im folgenden habe ich ihn abgekürzt geschrieben als eine einzelne 0.
Das sieht bei mir in z-Richtung folgendermaßen aus:
+(d/dz)B_z(0)*z+(d/dr)B_z (0)r+(1/2) ((d^2/dz^2)B_z)*z^2+(1/2)(d^2/dr^2))B_z (0) *r^2 +.... )
1. Stimmt diese Entwicklung oder habe ich bei den 2.Ableitungen auch noch ein gemischtes Produkt?
2. Laut Lösung fällt der 3.Summand weg. Wieso?
3. Der letzte genannte Summand sollte sich umschreiben lassen als B_z(0) r^2 ) . Wie?
Ich weißt außerdem, dass  . Aus ersterem kann ich folgern: B=-(d/dz)B )
ps.: Die B's sind eigentlich Vektoren. Wusste nicht, wie man den Vektorpfeil drüber setzt. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 20. Feb 2015 13:05 Titel: |
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1. Der gemischte Term fehlt.
2. Allgemein fällt der sicher nicht weg. Was für ein Magnetfeld betrachtest Du denn?
3. Allgemein lässt sich der Term nicht so umschreiben.
4. Deine Folgerung aus den Maxwell-Gleichungen ist falsch.
5. Vektorpfeile erhält man durch \vec{B}. |
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Martin Hamburg
Gast
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| Martin Hamburg Verfasst am: 20. Feb 2015 13:51 Titel: |
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1. Der gemischte Term fehlt.
Wie sieht er denn aus? Bin mir bei Taylor immer recht unsicher: [latex] (d/dz)(d/dr)B_z * r*z[/latex] ? [latex] (d/dz)[/latex] und [latex] (d/dr)[/latex] sind ja vertauschbar, oder? Ansonsten hätte ich zwei gemischte Terme jeweils mit dem Faktor 1/2 davor
2. Allgemein fällt der sicher nicht weg. Was für ein Magnetfeld betrachtest Du denn?
Ich betrachte ein zylindersymmetrisches Magnetfeld und ich weiß ja, dass
[latex] \nabla \vec{B} =0, \nabla \times \vec{B} = 0 [/latex].
Bildet man das Kreuprodukt mit den nabla in zylinderkoordinaten (r, phi, z) und betrachtet die [latex]\vec{e}\pi[/latex]- Komponente, dann erhält man [latex] (d/dz)B_r=(d/dr) B_z[/latex]. Die z-Komponente nach r abgeleitet müsste meiner Meinung nach null sein und dann fällt der Ausdruck weg?!
3. Allgemein lässt sich der Term nicht so umschreiben.
ja, aber unter Verwenung der zylindergeometrie vllt schon iwie...?
4. Deine Folgerung aus den Maxwell-Gleichungen ist falsch.
ok, habe nur den nabla in zylinderkoordinaten eingesetzt. habe evtl.falch umgeformt
5. Vektorpfeile erhält man durch \vec{B}.
ah danke |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 20. Feb 2015 14:08 Titel: |
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| Martin Hamburg hat Folgendes geschrieben: |
Wie sieht er denn aus? Bin mir bei Taylor immer recht unsicher: (d/dr)B_z * r*z) ? ) und ) sind ja vertauschbar, oder? Ansonsten hätte ich zwei gemischte Terme jeweils mit dem Faktor 1/2 davor
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http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem#Example_in_two_dimensions
| Zitat: |
2. Allgemein fällt der sicher nicht weg. Was für ein Magnetfeld betrachtest Du denn?
Ich betrachte ein zylindersymmetrisches Magnetfeld und ich weiß ja, dass
 .
Bildet man das Kreuprodukt mit den nabla in zylinderkoordinaten (r, phi, z) und betrachtet die  - Komponente, dann erhält man B_r=(d/dr) B_z) . Die z-Komponente nach r abgeleitet müsste meiner Meinung nach null sein und dann fällt der Ausdruck weg?!
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Wieso sollte B_z nach r abgeleitet im allgemeinen verschwinden?
| Zitat: |
3. Allgemein lässt sich der Term nicht so umschreiben.
ja, aber unter Verwenung der zylindergeometrie vllt schon iwie...?
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So auf den schnellen Blick, denke ich nicht dass das geht.
PS: Brüche erhalt man mit \frac{d}{dz} und das Multiplikationszeichen * wuerd ich weglassen, sieht schöner aus. |
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Martin Hamburg
Gast
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| Martin Hamburg Verfasst am: 20. Feb 2015 15:23 Titel: |
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Also, nochmal von vorne^^
Ich habe ein zylindersymmetrisches Magnetfeld, dass sich so ausdrücken lässt: 
Mithilfe von deinem Wikipedialink kann ich die Taylorentwicklung so darstellen:
+\frac{d}{dz}\vec{B}(0)z+\frac{d}{dr}\vec{B}(0)r+\frac{1}{2} [\frac{d^2}{dz^2}\vec{B}(0)z^2+2\frac{d}{dz} \frac{d}{dr}\vec{B}(0)zr+\frac{d^2}{dr^2}\vec{B}(0)r^2] +.... )
Laut Musterlösung erhält man:
+\frac{d}{dz}B_z * z+\frac{1}{2} \frac{d^2}{dz^2}B_z(0)*z^2- \frac{1}{4}\frac{d^2}{dz^2}B_z(0)r^2+.... ; ) und
r-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dz^2}B_z(0)rz +.... )
Mit Wikipedia habe ich ja eine gemeinsame Taylorentwicklung. Mein vorheriger Versuch war, zwei getrennte (einmal für B_z; einmal für B_r) durchzuführen. Stimmt jetzt die Taylorentwicklung und wie kann ich die einzelnen Komponenten B_z, B_r "rausfiltern"? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 20. Feb 2015 21:33 Titel: |
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Ich seh ehrlich gesagt nicht so direkt wie man auf die Lösung kommen soll. Insbesondere die Extrafaktoren von +-1/2 hier und da und einige fehlende Terme sehen etwas suspekt aus. Ist das wirklich der ganz allgemeine Fall und keine weitere Spezialisierung? Woher hast Du die Musterlösung? |
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Martin Hamburg
Gast
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| Martin Hamburg Verfasst am: 22. Feb 2015 15:49 Titel: |
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Doch, die Lösung stimmt schon. Ist aus einem englischsprachigen Artikel. Der gesuchte Ausdruck entsteht laut dem Paper durch die zwei schon erwähnten GLeichungen oben (Maxwell) und der zylindergeometrie.... .
Da ich die Maxwellgleichungen nicht direkt auf meine Taylorentwicklung anwenden kann, habe ich mir allgemein überlegt, wie ein zylinderförmiges Magnetfeld aussieht: Meine Idee:
x \\ f(z)y \\ B_z \end{pmatrix} ) Mit der Divergenz-Maxwellgl. folgt damit:
=-\frac{1}{2} (d/dz)B_z) und aus der Rotation-Maxwellgl. ergibt sich: [latex](d/dz)B_r=(d/dr)B_z[\latex]
Aber wie soll ich sowas in Einklang mit der Taylorentwicklung bringen und wie kann ich die Taylorentwicklung in ihre Komponenten teilen? Sind zwei einzelne Taylor vllt zielführender? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 22. Feb 2015 16:00 Titel: |
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Das ist nicht die allgemeinste Form. Kannst Du mal ein Link zu dem Paper schicken? (oder Titel/Autor) |
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Martin Hamburg
Anmeldungsdatum: 22.02.2015
Beiträge: 6
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| Martin Hamburg Verfasst am: 22. Feb 2015 16:16 Titel: |
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Finde den Artikel nicht online. Habe aber grad eben etwas auf Deutsch gefunden, dass fast mit meinem Thema übereinstimmt. Bei mir gehts es zwar nicht um einen Kreisel, aber um dasselbe Magnetfeld.
Auf S. 12. wird dort allgemein das Magnetfeld aufgestellt, auf S.18 erhalten sie dort das gleiche ERgebnis für B_z, dass ich auch suche!
http://physik.uibk.ac.at/physik2e/p2e_6.pdf
Wo ist auf S.12 der gemischte Taylorterm "2Mxy" (-> Fällt wirklich weg. Habe es in Kartesischen Koordinaten Taylorentwicklung und dann zusammengefasst mit r^2=x^2+y^2) und wie funktionieren die Vereinfachungen?
Und auch die  -KOmponente fehlt |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 22. Feb 2015 17:01 Titel: |
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Dein pdf hat mir jetzt nicht so furchtbar geholfen. Ich glaub nicht dass B im allgemeinen so aussieht.
Aber ich hab mal gemacht was ich schon ganz am anfang hätte machen sollen: Jackson aufschlagen. Dies ist im wesentlichen Problem 5.4 im Jackson. Es ist am einfachsten zuerst Br und Bz als Taylorreihe in r zu schreiben, wobei die Taylor-Koeffizienten dann noch Funktionen von z sind. Das dann in die Maxwell-Gleichungen eingesetzt liefert dann das gewünschte Resultat. |
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Martin Hamburg
Anmeldungsdatum: 22.02.2015
Beiträge: 6
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| Martin Hamburg Verfasst am: 22. Feb 2015 17:09 Titel: |
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Ok, cool, dass es bei dir herauskommt. Allgemein Danke für deine Hilfe!
Mir liegt leider der Jackson grad nicht vor (musste erst googln, was das ist und die Leseproben sind leider zu kurz^^).
Stimmt dann meine Taylorentwicklung für das B_z im 1Kommentar?
Und du hast dann die Maxwell (in Zylinderkoord.?) direkt auf die Taylorentwicklung angewendet? Nur damit ich deine Vorgehensweise weiß. Das Durchrechnen versuche ich selbsterständlich selbst  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 22. Feb 2015 17:16 Titel: |
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| Martin Hamburg hat Folgendes geschrieben: |
Mir liegt leider der Jackson grad nicht vor (musste erst googln, was das ist und die Leseproben sind leider zu kurz^^).
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Würde Dir auch nicht soviel bringen, da dort nur die Aufgabe steht nicht die Lösung 
| Zitat: |
Stimmt dann meine Taylorentwicklung für das B_z im 1Kommentar?
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Da fehlte der Mischte, aber wie gesagt, entwickelt nur in r (und ich würde auch neue Funktionen einführen und nicht mit Ableitungen hinschreiben, das bleib übersichtlicher):
 = c_0(z) + c_1(z) r + \frac{1}{2} c_2(z) r^2 + ...)
| Zitat: |
Und du hast dann die Maxwell direkt auf die Taylorentwicklung angewendet? |
Ja. Ist relativ geradeaus so wie Du es machen wolltest, aber auf diese Weise ist es etwas übersichtlicher und Du siehst sicher schneller wie man zur Lösung kommt. |
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Martin Hamburg
Anmeldungsdatum: 22.02.2015
Beiträge: 6
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| Martin Hamburg Verfasst am: 22. Feb 2015 17:46 Titel: |
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Ich komme mir grad etwas doof vor und steh wahrscheinlich noch auf dem Schlauch:
Ich schreibe die 2 Taylorentwicklungen hin:
r+\frac{1}{2} k_2 (z) r^2 +... ) und r+\frac{1}{2} q_2 (z) r^2 +... )
und die Maxwellgleichungen in Zylinderkoordinaten, oder?
Für B_z erhalte ich dann mit der Divergenz-Maxwellgleichung:
und jetzt zwei evtl.dumme Fragen:
1. Man muss ja nicht nachdifferenzieren, wenn man jetzt den laplace darauf anwendet?
2. Wie wende ich die rot-Maxwellgleichung an? Ich beschreibe durch die Taylorentwicklung ja jeweils eine Komponente und für rot brauch ich doch nen Vektor? die anderen komponenten einfach null oder?
Dann hab ich durch die drei gleichungen ein Gleichungssystem für 3 variablen und das passt ja dann |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 22. Feb 2015 17:49 Titel: |
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In den Maxwellgleichungen treten Bz und Br gleichzeitig auf... |
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Martin Hamburg
Anmeldungsdatum: 22.02.2015
Beiträge: 6
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| Martin Hamburg Verfasst am: 22. Feb 2015 18:14 Titel: |
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Ah klar, da ich die Maxwell nicht auf die Komponenten sondern auf das Gesamte Magnetfeld anwende und somit tauchen B_z und B_r gemeinsam auf.
Sind die zwei Taylorentwicklungen so richtig? Wieso muss ich nicht in die z-RIchtung entwickeln? Ist mir anschaulich nicht klar, da ich doch alle drei Raumrichtungen betrachten muss... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 22. Feb 2015 18:18 Titel: |
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Kannst Du auch, aber ich denk es ist einfacher zuerst nur in r zu entwickeln. Klappt aber beides und sollte aber immer zum selben Ergebnis führen. |
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Martin Hamburg
Anmeldungsdatum: 22.02.2015
Beiträge: 6
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| Martin Hamburg Verfasst am: 22. Feb 2015 18:39 Titel: |
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Ich glaub, ich resigniere bald.
Wenn ich zum Beispiel die DivMaxwell anwende, erhalte ich:
 .
Wenn ich dann noch die gleichung mit rot und laplace anwende erhalte ich viel zu viele umbekannte für 3 GLeichungen, da ja noch die Ableitungen mit reinkommen.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 22. Feb 2015 18:53 Titel: |
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Du erhaelst:
(... fuer hoehere Terme) oder
 r^0+(3 q_2 + k_{1}^{'} )r+ ... =0 )
Diese Gleichung muss jetzt für alle r gelten, das kann nur sein, wenn die Koeffizienten for der jeweiligen Potenz von r verschwinden. |
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Martin Hamburg
Anmeldungsdatum: 22.02.2015
Beiträge: 6
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| Martin Hamburg Verfasst am: 23. Feb 2015 10:05 Titel: |
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Entschuldigung, dass ich gestern verwirrt war am Ende 
Wenn ich nun die einzelnen "Glieder" null setze, erhalte ich aufgrund der Divergenz 3 Folgerungen:
Aus der Rotation folgt:
Außerdem weiß ich ja, dass  ... ist.
Dieses B (das durch die k's abgekürzt ist) ist ja nur durch z abhängig.
Aber selbst dann komm ich nicht auf den Ausdruck der Lösung. Wahrscheinlich fehlt nur ein offensichtlicher letzter Schritt... ich seh ihn nicht  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 23. Feb 2015 10:08 Titel: |
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| Martin Hamburg hat Folgendes geschrieben: |
Außerdem weiß ich ja, dass ... ist.
Dieses B hier drinnen ist ja noch von r und z abhängig.
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Nein, nur noch von z. Das sind die Ableitungen ausgewertet um Punkt r=0.
| Zitat: |
Aber selbst dann komm ich nicht auf den Ausdruck der Lösung. Wahrscheinlich fehlt nur ein offensichtlicher letzter Schritt... ich seh ihn nicht |
Das steht doch schon fast da:
}{\partial z}
<br />
)
Daraus folgt
}{\partial z^2}
<br />
)
und
etc..
Jetzt noch die Ableitungen in z Taylorentwickeln und Du erhaelst Dein Ergebnis (ich hab jetzt nicht alle Faktoren und Vorzeichen nochmal geprueft). |
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