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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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 twb8t5 Verfasst am: 10. Aug 2011 17:10 Titel: Typische uneigentliche Integrale lösen |
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In ET Aufgaben tauchen immer wieder bestimmte uneigentliche Integrale auf.
So z.B. diese:
^{3/2}}=\frac{2}{a^2})
Wenn man Aufgaben mit Linienladung hat wie in diesen Threads:
Thema 1
Thema 2
Auf die Lösungen für die oberen Integrale bin ich per Gaus über
gekommen.
Leider kann ich die Integrale aber nicht lösen. Ich habe die o.g. Lösungen zwar gefunden (Stimmen sie?) aber nicht durch eigentliches Rechnen.
Nun meine Frage: was ist der Trick?
Wenn es eine Lösung gibt, muss es doch einen mathematischen weg dort hin geben. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. Aug 2011 17:17 Titel: |
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Auf die Lösung beider Integral kommst du wenn du einen Substitution der Form
)
durchführst. |
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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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| twb8t5 Verfasst am: 10. Aug 2011 19:23 Titel: |
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Zunächst ein Dank.
| pressure hat Folgendes geschrieben: | Substitution der Form
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Ich bekomme es aber immer noch nicht hin.
Jetzt habe ich ein anderes Integral aber noch das selbe Problem.
=\pm \frac{\pi }{2} )
Damit ist das a wieder futsch gegangen.
Wenn ich über die Funktionen nachdenke, komme ich zu dem Schluss, dass sie physikalisch keinen Sinn ergeben.
Eine Leiterschleife die im unendlichen immer noch offen ist oder eine unendlich große Ladung machen einfach keinen Sinn.
Dennoch muss
 = I / 2 \pi r) und
=\lambda / 2 \pi r) sein.
Nur weil es physikalisch Unsinn ist, muss es ja nicht auch unberechenbar sein. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. Aug 2011 19:46 Titel: |
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Ich kann deinen Beitrag nicht ganz nachvollziehen. Daher will ich dir nun Schritt für Schritt zeigen, wie zumindest das erste Integral gelöst werden kann; a sei imfolgenden >0 ansonsten sei mit a o.B.d.A. dessen Betrag gemeint:
^{3/2}})
Substitution:
Dann folgt mit 1/cos²(x) = 1 + tan²(x):
^{3/2}} &=& \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}}\frac{\dfrac{a}{\cos^2\varphi}}{a^3\cdot \left(1^2+tan^2\varphi\right)^{3/2}}\dd \varphi = \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} \frac{\cos\varphi}{a^2} \dd \varphi \\ &=& \left[\frac{\sin\varphi}{a^2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{a^2})
Und natürlich gibt es in der Realität weder unendliche lange Spulen noch Linienladungen. Allerdings lassen aufgrund der angenommen Symmetrien Näherungen relativ einfach berechnen, die auch für endliche Anordnungen das Feld innerhalb gewisser grenzen erstaunlich gut approximieren.
Das zweite ist Integral ist ein klein bisschen schwieriger zu berechnen und divergiert für diese Grenzen ! |
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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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| twb8t5 Verfasst am: 10. Aug 2011 21:59 Titel: |
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| pressure hat Folgendes geschrieben: | Ich kann deinen Beitrag nicht ganz nachvollziehen. Daher will ich dir nun Schritt für Schritt zeigen, wie zumindest das erste Integral gelöst werden kann
Das zweite ist Integral ist ein klein bisschen schwieriger zu berechnen und divergiert für diese Grenzen ! |
Ah, ich bezog mich auf das zweite Integral. Ich habe das Glück bei zwei Möglichkeiten immer die ungünstigere zu wählen. Das erste habe ich nicht probiert.
Beim zweiten kam ich auf
) \right]_{\tan^{-1}(- \infty /a)}^{\tan ^{-1}(+\infty /a)} )
Wenn es divergiert muss es doch falsch sein? Die Lösung ist auch etwas merkwürdig, weil sie für Unendlich nicht Null ergibt. Ich hätte für das Potentialfeld außerhalb einer Linienladung etwas
} )
artiges erwartet. Worin r_0 die Ausdehnung der Ladung wäre. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Aug 2011 07:53 Titel: |
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Bevor ich etwas zur Physik sagen kann, musst du bitte genau sagen, was du berechnest ! Und wo in dieser Rechnung dieses Integral auftaucht. |
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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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| twb8t5 Verfasst am: 11. Aug 2011 11:26 Titel: Re: Typische uneigentliche Integrale lösen |
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| twb8t5 hat Folgendes geschrieben: |  |
Wenn das Potential von einer Punktladung (Kugelkoordinaten)
 = \frac{Q}{\epsilon 4 \pi r})
ist, sollte das Potentialfeld einer Linienladung (Zylinderkoordinaten)
 = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon}\int \limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dz}{\sqrt{z^2+r^2}})
sein?
So komme ich auf das Integral. Dann habe ich es nur noch verallgemeinert. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 12. Aug 2011 19:08 Titel: |
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In der Tat liefert diese Betrachtung kein brauchbares Potential für das Problem. Das liegt daran, dass du das Potential im Unendlichen auf Null gesetzt hast. Aufgrund der nicht endlichen Ladungsverteilung fällt aber des elektrische Feld nicht schnell genug ab, dass kein endliches Potential dieser Randbedingung genügen kann. Anschaulich hast du durch den unendliche langen Linienladung eine unendliche Energie im Feld... physikalisch ist das natürlich nicht möglich.
Da aber das Potential nur bis auf einen Konstante definiert werden muss, kann das Potential endlich gewählt werden, wobei es im Unendlichen dann divergiert.
Um eins solches Potential zu berechnen, musst du allerdings etwas anders vorgehen und zuerst mit dem Satz von Gauß das elektrische Feld berechnen und anschließend mit geeignet gewählter Randbedingung integrieren. |
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