Lie Ableitung und kovariante Ableitung

Petrificus · Anmeldungsdatum: 04.06.2007 Beiträge: 11

Ich hab ein kleines Verständnisproblem mit den Koordinatensystemen in der ART:

Generell kann man ja nur auf einem kleinen Gebiet der Mannigfaltigkeit ein KNS definieren, das leuchtet mir auch ein. Wenn wir nun aber unsere Metrik aufstellen, bspw. für die Schwarzschildlösung, benutzen wir Koordinaten, die meine Mannigfaltigkeit global beschreiben.
Wie passt das mit der Lokalität der Theorie zusammen?
Oder ist dies einfach nur ein Spezialfall, aufgrund der vielen Symmetrien die dem Problem unterliegen?
Wie stellt man die Metrik dann auf, wenn mein System keine Symmetrien hat? Unterteilt man die Mannigfaltigkeit in kleine Abschnitte, jeweils ausgestattet mit einem KNS?

Danke!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Bei der Schwarzschildlösung kannst du das gut beobachten.

In Schwarzschildkoordinaten gibt es zwei Lösungen, eine für den Außen- und eine für den Innenraum, d.h. die Koordinaten gelten eben nicht global; es gibt keinen Überlapp, sondern am Schwarzschildhorizont eine Koordinatensingularität.

Es gibt jedoch andere Koordinatensysteme, die am Schwarzschildhorizont regulär sind und die somit tatsächlich ein globales Koordinatensystem (mit Ausnahme der Singularität im Zentrum) darstellen.

Bsp.:
Eddington–Finkelstein Koordinaten
Kruskal–Szekeres Koordinaten

Mathematisch beschreibt man dies wie folgt: eine Mannigfaltigkeit wird mit Karten (= Koordinatensystemen) überdeckt; die Karten haben untereinander einen Überlapp, d.h. jeder Punkt der Mannigfaltigkeit liegt auf mindestens einer Karte (im Falle der Schwarzschildmetrik liegt der Horizont auf keiner Karte). Es gibt ja nun eine umkehrbar eindeutige Abbildung von der Mannigfaltigkeit auf die jeweilige Karte. Im Bereich des Überlapps existiert über die Verkettung somit eine Abbildung zwischen zwei Karten. Die Gesamtheit aller miteinander verträglichen Karten bildet einen sogenannten Atlas auf der Mannigfaltigkeit.

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Petrificus · Anmeldungsdatum: 04.06.2007 Beiträge: 11

Ah, danke nochmal für den Hinweis und die Erklärung, dass sie nicht global gelten. Hat geholfen, denke ich.

Petrificus · Anmeldungsdatum: 04.06.2007 Beiträge: 11

Ich hab mal das Thema gerade geändert...

Weitere Fragen tauchen auf bei der Unterscheidung zwischen Lie und kovarianter Ableitung.

Man sagt eine Isometrie liegt vor, wenn die Lie Ableitung der Metrik verschwindet, d.h. wenn eine Transformation der Mannigfaltigkeit entlang des Flusses eines Vektorfeldes die Metrik nicht ändert.

Eine Anforderung die immer an die Metrik gestellt wird ist, dass deren kovariante Ableitung verschwindet. Dies hat schöne Eigenschaften (Vertauschung mit Kontrakiton, inneres Produkt zweier parallel transportierter Vektoren bleibt konstant ) und lässt eine eindeutige Wahl der Metrik zu.

Warum identifizieren wir Symmetrien mit dem Verschwinden der Lie Ableitung aber nicht der kovarianten? Man könnte doch sagen, dass die Metrik bei Verschiebung in eine Richtung unverändert bleibt, also auch hier eine Symmetrietransformation vorliegt.

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196