Spezifische Frage zu Demtröder Bd III

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Ich les mir grad das Kapitel über Laser im Demtröder durch und da ist im Kapitel 8.2.1 "offene optische Resonatoren" ne Formel, auf die ich nur mit ner Näherung komme. Jetzt wollte ich mal wissen, ob ich die Herleitung nicht schnalle, oder ob er die Näherung einfach verschweigt.

Und zwar handelt es sich um die Formel 8.10, welche die mittlere Lebensdauer eines Photons in einem Resonator in Abhängigkeit von den Verlusten setzt.
Ich komme auf die Formel nur, wenn ich exp(-x) mit -1 + x approximiere. Kann mir das einer bestätigen?

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Ich verstehe das so:

Intensitätsverlust pro Umlauf:

Lebensdauer = Zeit bis Abfall auf

Also muss die Zahl der Umläufe =

betragen.
Macht für die Lebensdauer eben

womit du - bis auf Vorzeichen - auf den gewünschten Wert kommst. Da aber die Relfexionskoeffizienten negativ sind und die Lebensdauer bitteschön positiv sein sollte, würde ich sagen, dass in der Formel (8.10) das Vorzeichen fehlt und es eigentlich heißen müsste:

Gruß
MI

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Wieso is die Lebensdauer als Abfall auf exp-1 definiert? Ist das die mittlere Lebensdauer?

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Naja, wir haben hier ja ein "Zerfallsgesetz" und für Zerfallsgesetze definiert man meistens die Lebensdauer (= mittlere Lebensdauer) als die Zeit, nach der die Intensität auf 1/e abgesunken ist - so wie hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Lebensdauer_%28Physik%29

Und von der Definition bin ich mal ausgegangen.

Gruß
MI

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Hm ok also ich bin nicht von irgendeiner Definition ausgegangen, sondern dachte mir folgendes:

Die mittlere Lebensdauer eines Photons sollte ja eigentlich sein

wobei

ist, also der Reflexionskoeffizient pro Umlauf im Resonator. Somit ist

die verbliebene Intensität (Proportional zur Anzahl der Photonen) im Resonator nach dem n-ten Umlauf. Ich rechne also nichts anders aus als den Erwartungswert, indem ich über alle Umläufe summiere. Das ganze ist dann eine geometrische Reihe, die gegen

konvergiert.

Und das ist eben keineswegs

sondern nur näherungssweise (e-Funktion entwickeln).

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Naja, also unter Zugrundelegung einer Exponentialverteilung für die Lebensdauer ist meine mittlere Lebensdauer gleich dem Erwartungswert für die Lebensdauer, denn:

dann gilt:

und

, also gilt zur Zeit

(also zum Erwartungswert) eben

Jetzt ist die Frage, warum die beiden Wege trotzdem unterschiedlich herauskommen.
Der Unterschied in den Herangehensweisen besteht nun aber darin, dass ich oben eine Exponentialverteilung angenommen habe und du haber mit dem vorgegebenen diskreten Gesetz gearbeitet hast (unsere Ansätze sind gleich, wenn

, da dann deine Summe in ein Integral übergeht). Vielleicht kommt daher der Unterschied, ich kann das aber gerade nicht nachturnen.

Gruß
MI