Schwerpunkt eines Stabes

Thunder90 · Gast

Meine Frage:
Wo liegt der Schwerpunkt eines geraden Stabes der Länge L von konstantem
Querschnitt A, wenn die Dichte des Stabes vom Wert a am einen Ende bis zum
Wert 5a am anderen Ende linear zunimmt?

Meine Ideen:
Also erstmal eine Formel zur Berechnung der Dichte an einer bestimmten Stelle des Stabes: a(l)=4a*l +a. Ich habe jetzt a für die Dichte gewählt da ich nicht weiß wie ich das richtige Symbol für die Dichte hier eingeben kann. Weiterhin muss ja gelten: a(L)= 5a. Da der Stab ja am Ende die 5-fache Dichte haben muss als am Anfang. Dann komme ich durch jede Menge Rechung mit Integralen und solchen Sachen auf einen Wert von r=0,61111111 L. r bezeichnet bei mir jetzt den Schwerpunkt. Allerdings bin ich mir etwas unsicher und wollte deshalb gern ein paar Tips bzw. Denkanstöße bekommen.

Packo · Gast

Zeichne ein Trapez:

Grundlinie = L
Eine Parallelseite = a
Die andere Parallelseite = 5a

Kannst du den Schwerpunkt bestimmen?

Thunder90 · Gast

Ehm tut mir leid ich kann dir absolut nicht folgen:( Wir müssen das Ganze auch durch Rechnung zeigen.

gast345 · Gast

@ thunder 90 hey kurze frage, bist du an der uni leipzig zufälliger weise?? ;D ;D

Thunder90 · Gast

Ja das wäre möglich:) Aber ich brauche immer noch Hilfe bei der Aufgabe!

gast2ß3456 · Gast

also 0,61111 erscheint mir sehr richtig. Ich bin übrigens auch an der Uni Leipzig^^

Vielleicht kannst du mal kurz deine Lösung reinschreiben. Ich versuche es auch schon seit einiger Zeit. Aber irgendwie bekomme ich es nicht hin, so dass was sinnvolles rauskommt.

Ich frage mich zum Beispiel, wo du deine verschiedenen Dichten unterbringst, die du da als Gleichung angibst.

Packo · Gast

Also an der Uni Leipzig wird man doch noch den Schwerpunkt des von mir beschriebenen Trapezes ausrechnen können.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

steht da irgendwo etwas von einem Trapez?

Bei der Schwerpunktsberechnung geht man von einem Gleichgewichtsfall aus in dem man es schafft einen Körper und dessen Gewichtskräfte in den Massepunkten mit einer angreifenden Kraft ins Gleichgewicht zusetzen, umgekehrt kann man sich natürlich vorstellen das alle agierenden Gewichtskräfte genau mit dieser Kraft vereint entgegengesetzt agieren, (reactio).

für einen Gleichgewichtsfall (statisch) gilt folgendes.

es ist aber relativ leicht zu zeigen das wenn die Summe aller F=0 null ist, jeder Punkt für eine Momentenbilanz bgewählt werden kann und man erhält in der Momentengleichung zu jeden Punkt dasselbe,
da bei uns null herauskommen muß. kommt in diesem Fall bei jeden x beliebigen Punkt null heraus. Es ist also egal welchen Punkt man wählt.

zerlegt man nun das Objekt in lauter kleine dl Scheiben, dann gilt.

I):

F........ unsere Kraft die alles ins Gleichgewicht setzt.

dFG ... die Gewichtskraft einer solchen dl Scheibe.

n... die Anzahl....... einfach die Gesamtlänge L durch dl geteilt. soviele Scheibe haben wir dann, alle müssen wir summieren.

weiters gilt:

legen wir zum Beispiel den Punkt für die Momentenbilanz am Start des Körpers mit einer fortlaufenden Variable

nach rechts so gilt. Drehsinn Uhrzeigersinn positiv.

II):

x_s ist der unbekannte Kraftangriffspunkt unserer Kraft die alles ins Gleichgewicht setzt.

der zweite Term ist die summe aller Gewichtsmomente der einzelnen dl Scheiben zu unseren Startpunkt.

Daraus erhalten wir mit I)

und aus II)

kombiniert liefert das

**********************************

**********************************

unsere Dichte nimmt aber mit

zu und zwar nicht wie von dir beschrieben, sondern ne Kleinigkeit fehlt ...../L.

Daher ist die Gewichtskraft einer dl Scheibe im Abstand l zum Startpunkt.

und das Gewichtsmoment zum Startpunkt

oder anders geschrieben:

Ich hoffe dieser Abschnitt aus der Mathematik ist klar

Thunder90 · Gast

Ich danke euch für eure Hilfen!
Und natürlich bin ich froh dass ich es selbst auch bereits richtig ausgerechnet hatte:)
@ packo: Ich habe deinen Ansatz leider erst jetzt verstanden, ich wusste nicht dass du direkt den Schwerpunkt des Trapezes meinst. Aber ist natürlich auch eine Möglichkeit die Aufgabe zu lösen. Deswegen auch dafür vielen Dank!

Packo · Gast

VeryApe hat dies mit einer beeindruckenden Rechnung gelöst.
Mit der Trapez-Methode ist dasselbe jedoch mit Grundschulkenntnissen zu erreichen!

Thunder scheint dies nun auch verstanden zu haben.

gast 333 · Gast

Gibts das auch noch in ner fertigen Form,mit Grundschulkenntnissen?
wäre ich euch sehr dankbar,wenn das mal jemand hier darstellen könnte! Augenzwinkern

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

hm, was soll da beeindruckend sein. Das ist doch eh ziemlich leicht im Vergleich zu dem was da noch auf die zukommt.

Versteh auch nicht was du mit Grundschulerklärung meinst.

Bist du direkt von der Grundschule an die Uni gewechselt Big Laugh

Einen Gleichgewichtsfall mit Summe F=0 und Summe M=0 wirsd du doch kennen oder?

Und was man mit Integralrechnungen eigentlich berechnet müsste doch auch klar sein.

Vielleicht kannsd du dein Problem schildern was du nicht kapierst.
Die Mathematik schreibweisen sind vielleicht nicht Uni tauglich, aber irgendwas wird man da ja herauslesen können.

gast 333 · Gast

klar.direkt von der grundschule zur uni! Augenzwinkern

ich kann mir nur nich vorstellen,das die sowas ausführliches von uns verlangen!kann man das nich einfacher schreiben?! Augenzwinkern

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

Ich wollte euch das doch nur genau erklären, warum und wie man da vorgeht.

im Grundegenommen gilt der Kraftsatz.

Ist die Erdbeschleunigung konstant

dann gilt der Massen satz weil sich g als Konstante herauskürzt

ist die dichte konstant dann gilt der Volumensatz, weil sich die Dichte herauskürzt

haben wir beim Volumen eine konstante Breite dann gilt der Flächensatz weil sich die Breite herauskürzt.

und das wirsd du ja schon mal in der Form gesehn haben

Bei euch geht der Massensatz, weil g konstant ist

Packo · Gast

Ich glaube es ist nötig, dass ich das Trapez auch nochmal erkläre.

Man fertigt ein Diagramm an:
Als Abszisse trägt man die Stablänge auf, also von L=0 bis L
Also Ordinate die Dichte, also über L=0 die Dicht a und über L=L die Dichte 5a.
Da die Dichte laut Angabe linear verteilt ist, erhält man die jeweilige Dichte über der Stablänge, indem man eine Gerade durch (0,a) und (L,5a) zieht.
Nun hat man das Trapez. Sein Schwerpunkt liegt genau über der Stelle des Stabes die die Koordinate des gesuchten Schwerpunktes angibt.
Das Trapez setzt sich aus einem Dreieck und einem Rechteck zusammen.
Der Schwerpunkt liegt über der Koordinate 0,6111*L.
Anmerkung: wenn man die Formel für die Fläche eines Rechtecks vergessen hat, kann man sie (die Fläche) auch mit einem Doppelintegral ausrechnen.

Jan124788 · Gast

Ich habs gestern unabhängig von dir gerechnet und hab aber folgende Gradengleichung genommen für die dichte:

p(x)=4x/L+1

So und wenn man das dann über x integriert bleibt was mit L+L übrig, sodass man damit dann gut rechnen kann.
Unten genau das gleiche nur ohne das eine x.

Und am Ende hab ich 11L/18 raus. Das ist ungefähr 0,61111L oder?^^

Hagrid · Anmeldungsdatum: 22.11.2010 Beiträge: 1 Wohnort: Leipzig

11/18 L sind genau 0,61 L ^^

Wie ich sehe haben auch andere aus der Uni Leipzig die blöde Stabaufgabe nich ganz gepackt.

@ Jan124788:
Ich habs genauso gemacht und bin dann über 2 verschiedene Integrale, so wie es uns heut im Seminar gesagt wurde auf 11/18L gekommen. Der Wert ist richtig.

Grüße