Schwerpunkt eines Stehaufmännchens

Physinetz · Anmeldungsdatum: 20.09.2006 Beiträge: 317

Hallo miteinander,

hätte gerne mal ein paar Hilfen zur Überlegung des Schwerpunkts eines "Stehaufmännchens".

Bild 1 und Bild 2 zeigen das Stehaufmännchen gezeichnet.

Wie gehe ich nun vor um den Schwerpunkt zu berechnen:

1) Ich würde die Figur in 2 Teile unterteilen: Kegel und Halbkugel

2) Jeweils Schwerpunkt von Kegel und Halbkugel ausrechnen und dann kann man ja den gesamten Schwerpunkt berechnen

Doch wie berechnet man die Schwerpunkte jeweils?

Prinzipielle Frage: Kann ich hier mit den guldinschen Regeln arbeiten?
Wenn nein, wieso nicht?

Ich weiß nämlich nie wann ich mit denen arbeiten kann und wann ich über das Integral und Infinitimale gehen muss...

Mit der guldinschen Regel kann ich ja den Schwerpunkt von "Rotationskörpern" bestimmen.

Beispiel: Halbkreis im x-y Koordinatensystem. Lege ich mein Koordinatensystem geschickt, dann kann ich den Halbkreis um die z-Achse rotieren lassen -- > Kugelvolumen , dann kann ich den Flächenschwerpunkt ausrechnen

Nur: Ich bekomme praktisch nur den Schwerpunkt des Halbkreises richtig? Nicht des Volumens? Ich lasse zwar den Halbkreis rotieren und habe dann praktisch meine Formel, die nützt mir aber nichts, wenn ich den Schwerpunkt einer Kugel bestimmen möchte.

Die guldischen Regeln kann ich also nur für Flächen- und Linien Schwerpunkte benutzen, nicht aber für Volumina, richtig? Weil mich hat der Begriff "Rotationskörper" verwirrt...

Folglich muss ich hier dann über die Integrale das Stehaufmännchen ausrechnen, richtig? Bevor ich damit fortfahre warte ich erstmal auf eure Antwort

Danke

Beste Grüße, Physinetz

Physinetz · Anmeldungsdatum: 20.09.2006 Beiträge: 317

Habe mir jetzt mal überlegt, falls man den Volumenschwerpunkt, und damit den Massenschwerpunkt des Kegels berechnen muss, wie das geht:

Im Prinzip ist es ja bei einem homogenen Kegel egal ob ich Massenmittelpunkt oder Volumenmittelpunkt bestimme?

Für den Volumenmittelpunkt in y-Richtung gilt (angenommen der Kegel liegt symmetrischen im Ursprung, somit nur y-relevant):

Vorgehen:

Vom Kegel wird nun ein kleiner dünner Streifen (dV) herausgeschnitten in der Höhe y. Dann ist

vom Betrag her gleich y.

Das infinitesimale Volumenstück dV lässt sich berechnen durch :

dV=dy*d (d= Dicke des infinitesimalen Volumenstück)

Nun benötigt man noch die Fläche des Streifens: Über Pythagoras erhalte ich: r(y)² = R²-y²

Wobei r(y) hier der Radius in der Höhe y ist und R der Radius der Grundfläche des Zylinders.

Also ergibt sich für die Fläche des Streifens:

Somit:

Somit insgesamt mit H= Höhe Zylinder:

Aber hier haperts schon, ich weiß das es ungefähr nach dem Prinzip gehen muss, aber schon allein dV=dy*d , somit kann ich ja gar nicht die Formel herausbekommen, weil dann ja nur dastehen müsste

Also wir haben eben das immer mit Streifen gemacht, aber so 100% klar ist mir die Sache noch nicht mit den ganzen dy dV und d .

Deshalb wollte ich mich mal an einer Aufgabe probieren

Hoffe jemand kann mir da ausführlich helfen wie man da vorgeht und was richtig/falsch ist.

Danke!

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien