Geschwindigkeit einer Kugel, die durch Cosinuskurve rollt

FlixH · Anmeldungsdatum: 09.11.2008 Beiträge: 22

Hallo!

Eine Kugel rollt von 0 bis 2Pi durch eine Cosinuskurve. Ich will die Geschwindigkeit an jedem beliebigen Ort berechnen.

Mein Ansatz:

Die Kugel hat im Scheitel der Kurve die kinetische Energie E0.

f(x) = cos(x)

E(kin) = E0 + mgh = 0,5mv^2

v = (v0 + 2gh)^0,5

h = f(0) - f(x)

v(x) = (v0^2+2g(1-cos(x)))^0,5

Soweit mein Ergebnis. Natürlich hab ich mir den Graphen dieser Funktion angeschaut:

http://rechneronline.de/funktionsgraphen/
sqr(0,5^2+2*9,81*(1-cos(x)))
(kann man hier das auch irgendwie einfügen?)

Meiner Meinung nach kann diese Kurve nicht den Geschwindigkeitsverlauf zeigen. Die Kurve müsste an der Wendestelle des Cosinus ebenfalls eine Wendestelle haben, bzw. die Ableitung der Kurve (also die Beschleunigung der Kugel) sollte in dieser Stelle ein Maximum haben. Das ist aber nicht der Fall. Ist meine Interpretation der Kurve oder meine Herleitung falsch?

Danke schonmal,
Felix

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

blau Kosinus
rot Geschwindigkeit
grün Beschleunigung

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

GELÖSCHT

FlixH · Anmeldungsdatum: 09.11.2008 Beiträge: 22

Danke für deine Antwort!

Also die Formel für die Geschwindigkeit v(x) hatte ich ja auch schon.
Ich nehme an, dein blauer Graph stellt die Geschwindigket dar. Aber wofür steht der 2. Graph, immerhin geht es ja um die Cosinusfunktion?
Wenn man den blauen Graphen und die zugehörige Cosinusfunktion betrachtet wird man immernoch feststellen, dass die beiden Graphen nicht zusammenpassen. Bitte um Erklärung.

MfG
Felix

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

GELÖSCHT

FlixH · Anmeldungsdatum: 09.11.2008 Beiträge: 22

jetzt zeichne doch mal die Cosinusfunktion mit in dein Koordinatensystem ein. Du wirst feststellen, dass die Wendestelle deiner v(x)-Funktion nicht an der Nullstelle des Cosinus liegt. Das passt doch nicht zusammen.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Was paßt Dir nicht, physikalisch gesehen?

F.

FlixH · Anmeldungsdatum: 09.11.2008 Beiträge: 22

Ich hätte erwartet, dass die maximale Geschwindigkeitszunahme an der steilsten Stelle des Cosinus vorliegt, also an dessen Nullstelle.
Wenn dort die Geschwindigkeitszunahme maximal ist, muss der Geschwindigkeitsgraph (rote Kurve) dort seine steilste Stelle haben, mit anderen Worten, die Ableitung der von v(x) (grüne Kurve) muss dort maximal sein. Das ist aber nicht der Fall, die Wendestelle in der Geschwindigkeitsfunktion liegt bereits irgendwo zwischen 0 und PI/2.

MfG
Felix

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Bitte zu beachten, daß v = ds/dt, a = dv/dt usw. zeitliche Änderungen sind, nicht zu verwechseln mit df(x)/dx usw. In den Formeln taucht nirgend explizit die Zeit auf. Bei der Beschleunigung taucht nicht die Ableitung f'(x) auf (Tangens), sondern der Sinus (entspricht Hangabtriebsbeschleunigung auf der geneigten Ebene).
Also a(x) = g sin arctan f'(x) usw.

Es gibt sicher andere Vorgehensweisen x(t), vx(t) usw.?

mfG F.

FlixH · Anmeldungsdatum: 09.11.2008 Beiträge: 22

k, klar, danke!

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Als Ergänzung zu franz' Antwort nur noch einmal die Graphen.

Man sieht, dass die Beschleunigung tatsächlich das von dir angesprochene Verhalten zeigt. Man erhält sie, wenn man "hellgrünen und roten Graphen multipliziert". Dahinter steckt die Kettenregel:

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

v und a sind Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung in Wegrichtung, also nicht dx/dt usw.

Bei der Berechnung von a scheint mir oben ein Vorzeichendreher unterlaufen zu sein; a > 0 bei f' < 0. Ich tausche die Bilder aus. [NB Ist vo = 1/2 m/s?]

mfG F

PS Wenn wir schon sämtliche Einheiten weglassen; wenigstens g = 10?