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pejta
Anmeldungsdatum: 20.10.2008
Beiträge: 2
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 pejta Verfasst am: 20. Okt 2008 01:49 Titel: Potential -> BWGL, Lösung? |
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Hi!
bin am verzweifeln an einer aufgabe, die wir gerade in theoretischer physik bekommen haben. Ich habe shcon stunden daran gesessen und komme wirklich nicht weiter. Bin jetzt im 3. Semester und noch alles andere als versiert in Sachen DGL.
Die aufgabe ist so:
m=1
Potential:
=\frac{{\omega}^{2}x^{2}}{2}+\frac{{\alpha}^{2}}{2x^{2}})
Bestimme die allgemeine Lösung x(t) der bewegunsgelichung!
also, ich habe wirklich meine zeit damit verbracht. wir hatten noch keine übung.
ich habs über energieerhaltung probiert.
t-to= dieses bekannte integral nach dx.
dabei komm ich garnicht weiter.
das negative potential abgeleitet gibt einem die bewegungsgleichung.
auch damit komme ich einfach nicht weiter. ich denke aber, dass dies der richtige ansatz ist.
die BWGL lautet dann:
Ich habe keine Ahnung, wie ich das lösen kann. der erste Teil mit dem  wird immer erfüllt durch die standartansätze, aber  ???
Wirklich - ich brauche ausführliche Hilfe  abgabe is morgen...
ich hoffe, das ist kein problem für jemanden von euch.
ciao Pejta |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. Okt 2008 02:59 Titel: Re: Potential -> BWGL, Lösung? |
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| pejta hat Folgendes geschrieben: |
die BWGL lautet dann:
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Bis hierhin bin ich einverstanden. (Die Masse m ist gleich 1, und du rechnest einheitenlos.)
Nun sucht man also eine Funktion x(t), die zweimal nach der Zeit abgeleitet die rechte Seite der Differentialgleichung ergibt.
Da man nun wohl erstmal nicht direkt sieht, welcher Ansatz da erfolgreich sein könnte, könnte man sich erstmal das Potential aufzeichnen und feststellen, dass es für x gegen Null unendlich hoch wird. Entweder wird sich das Teilchen der Masse 1 also in der Kuhle rechts (für x > 0) oder aber in der Kuhle links (also nur bei x<0) hin- und herbewegen.
Eine Entwicklung des Potentials um sein jeweiliges Minimum könnte einem da schon mal ganz grob eine erste Idee von solchen Lösungen geben, die für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage näherungsweise der eines harmonischen Oszillators um das jeweilige Potentialminimum entsprechen.
Ob solche Überlegungen eventuell schon einen allerersten Hinweis darauf geben könnten, wie ein sinnvoller Ansatz für eine Lösung der Bewegungsgleichung ungefähr aussehen könnte? |
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aVague
Anmeldungsdatum: 04.10.2008
Beiträge: 186
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| aVague Verfasst am: 20. Okt 2008 10:45 Titel: |
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Versuche  Tailor-Entwicklung , so
=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac {f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+...O(x^3)) oder ohne f''(x_0) , nur f'(x_0)
Ich will das in einige Zeit machen
Zuletzt bearbeitet von aVague am 20. Okt 2008 15:39, insgesamt einmal bearbeitet |
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aVague
Anmeldungsdatum: 04.10.2008
Beiträge: 186
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| aVague Verfasst am: 20. Okt 2008 11:05 Titel: |
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so , wenn ich =f(1)+f(1)(x-x_0)+O(x^2)) nehme , dann will ich solche Ergebnisse bekommen x - 2{\alpha}^2=0 ) .
Losung ist =cos(\sqrt{\alpha^2 + \omega^2}*t)+i*sin(\sqrt{\alpha^2 + \omega^2}*t) + 2\alpha^2)
Zuletzt bearbeitet von aVague am 20. Okt 2008 11:12, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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pejta
Anmeldungsdatum: 20.10.2008
Beiträge: 2
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| pejta Verfasst am: 20. Okt 2008 11:09 Titel: |
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danke schonmal!
bin grad dabei: das minimum ist bei 
da es symm. ist schaut man sich halt nur das positive an.
hab bis zur zweiten ordnung entwickelt (die erste entfällt].
bin ich richtig in der annahme, dass diese formel dann quasi das neue, in diesem bereich ähnliche, potential ergibt, woraus ich dann ne neue BWGL machen kann, welche es zu lösen gilt und ich dann einmal nur positive und einmal nur negative werte zulasse und sage, dass dies qualitativ stimmt? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. Okt 2008 12:29 Titel: |
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| pejta hat Folgendes geschrieben: |
bin ich richtig in der annahme, dass diese formel dann quasi das neue, in diesem bereich ähnliche, potential ergibt, woraus ich dann ne neue BWGL machen kann,
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Ja, das wäre ein genähertes Potential, das zu einer Bewegungsgleichung führt, die sehr einfach zu lösen ist, weil sie einfach der eines harmonischen Oszillators mit "Ruhepunkt" im Potentialminimum entsprechen dürfte.
Da am Ende allerdings in der Aufgabenstellung nicht nach einer Näherungslösung, sondern nach einer vollständigen Lösung gefragt ist, sind diese Näherungslösungsversuche eher nur ein vorläufiges Mittel, um die Bewegungsgleichung besser kennenzulernen und damit vielleicht besser erraten zu können, wie ein erfolgreicher Ansatz aussehen könnte.
Zum Beispiel würde ich erwarten, dass in einem erfolgreichen Ansatz für die Bewegungs-DGL irgendwie auch die Position der Minima, die du ja nun bestimmt hast, mit drinstecken wird. |
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