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kilohertz_
Anmeldungsdatum: 30.04.2008
Beiträge: 5
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 kilohertz_ Verfasst am: 30. Apr 2008 13:26 Titel: [Gelöst] Momentensatz bei Halbkreisring |
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Hallo,
Ich habe hier eine eigentlich einfache Aufgabe, aber meine Lösung stimmt nicht mit der Musterlösung überein, die uns unser Professor gegeben hat. Ich vermute inzwischen sogar fast, dass die Lösung vom Professor falsch ist. Das hier ist jedenfalls die Aufgabe:
"Ein dünner Halbkreisring (Masse m, Radius r) ist in Punkt 0 drehbar gelagert. Berechnen Sie das axiale Massenträgheitsmoment bezüglich der auf der Ringebene senkrechten Achse durch den Aufhängepunkt 0.
Gegeben: m, r
Hinweis: Der Schwerpunkt liegt 2r/pi vom Halbkreisbogenmittelpunkt entfernt."
Dazu dann eine Zeichnung mit einem Halbkreis, der genau in der Mitte seiner Bogenlänge gelagert ist, das ist der Punkt 0.
Die Musterlösung lautet:
Mein Ergebnis:
^2}{\pi^2})
Ich habe mir gedacht, dass er dieses "hoch 2" als ein "mal 2" gelesen hat und es dann falsch zusammengefasst hat.
Muss man hier zur Berechnung auch den Satz von Huygens und Steiner anwenden?
Dann noch eine andere Frage: Was ist ein Halbkreisbogenmittelpunkt?!
MfG
kilohertz_
Zuletzt bearbeitet von kilohertz_ am 02. Mai 2008 12:03, insgesamt einmal bearbeitet |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 30. Apr 2008 18:37 Titel: |
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Also über die sture Methode:komme ich bei der Integration um den (Halb-)Kreismittelpunkt mit undtatsächlich auf Es würde mich nicht wundern wenn es mit dem Satz von Steiner (und dem bekannten Trägheitsmoment eines Kreisrings) einen eleganteren Weg gäbe – aber auf dem Weg käme ich zumindest erstmal auf das Ergebnis deines Professors.
Wie bist du an die Sache rangegangen? Wie sah dein Weg aus?
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Formeln mit LaTeX |
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kilohertz_
Anmeldungsdatum: 30.04.2008
Beiträge: 5
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| kilohertz_ Verfasst am: 30. Apr 2008 18:54 Titel: |
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Hi, danke erstemal.
Ich verstehe allerdings nicht, wie du auf folgendes gekommen bist:
| para hat Folgendes geschrieben: | | und |
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| para hat Folgendes geschrieben: | | Wie bist du an die Sache rangegangen? Wie sah dein Weg aus? |
Ich habe mir gedacht, genau wie du: J = s² * m
Und dann habe ich mir gedacht: s = r - 2r/pi
Dann habe ich das ausgerechnet und siehe da, es war falsch.
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 30. Apr 2008 21:05 Titel: |
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| kilohertz_ hat Folgendes geschrieben: | Ich habe mir gedacht, genau wie du: J = s² * m
Und dann habe ich mir gedacht: s = r - 2r/pi
Dann habe ich das ausgerechnet und siehe da, es war falsch. |
Vorsicht, diese Variante ohne Integral gilt nur, wenn alle Massestückchen gleich weit (senkrecht) von der Drehachse entfernt liegen. Ansonsten muss jedes inifinitesimale Massestückchen dm mit seinem (individuellen) Abstand s einzeln betrachet und aufintegriert werden.
Gesucht ist nun - wie eigentlich immer bei solchen Problemen - eine geschickte Zerlegung in diese Massestückchen.
In dem Fall habe ich die Masse in Stückchen entlang des Kreisbogens zerlegt, und zwar jeweils an der Stelle Alpha (siehe Skizze) und mit der unendlich kleinen Breite dAlpha. Das dm lässt sich dann ausdrücken, indem sich M auf den gesamten Halbkreis verteilt, und das Stück eine Masse dm entsprechend seinem dAlpha hat. Den Abstand s zur Drehachse habe ich auch eingezeichnet, man sieht ein gleichschenkliges Dreieck, so dass sich s aus Alpha und r berechnen lässt. Was bleibt ist die Integration zwischen -Pi/2 und Pi/2 um den gesamten Halbkreis abzudecken.
Mir ist aber Mittlerweile auch der elegantere Weg über den Satz von Steiner aufgefallen. 
Verliefe die Drehachse durch P, wäre das Trägheitsmoment J_p=mr². Es setzt sich nach dem Steinerschen Satz zusammen aus dem (unbekannten) Trägheitsmoment J_s durch den Schwerpunkt, und dem gegebenen Abstand zwischen Schwerpunkt und dem Kreis(bogen)mittelpunkt P. Die gleiche Überlegung lässt sich für das gesuchte Trägheitsmoment J_o aufstellen.Damit kann man nach J_o umstellen, und kommt ohne Integration ebenfalls auf das Ergebnis.
Welcher Weg ist dir sympathischer? Kannst du beide nachvollziehen? 
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kilohertz_
Anmeldungsdatum: 30.04.2008
Beiträge: 5
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| kilohertz_ Verfasst am: 02. Mai 2008 12:06 Titel: |
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| para hat Folgendes geschrieben: | | Welcher Weg ist dir sympathischer? Kannst du beide nachvollziehen? |
Ich kann jetzt beide Wege nachvollziehen und ich denke, dass ich die Aufgabe nun verstanden habe.
Ein ganz großes Dankeschön an dich für diese sehr gute Antwort, die mir und wahrscheinlich auch noch ein paar anderen aus meinem Semester sehr viel gebracht hat! 
P.S.: Mit welchem Programm hast du die Zeichnung gemacht? Euklid?
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 02. Mai 2008 16:12 Titel: |
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| kilohertz_ hat Folgendes geschrieben: | | Ich kann jetzt beide Wege nachvollziehen und ich denke, dass ich die Aufgabe nun verstanden habe. |
Schön. 
| kilohertz_ hat Folgendes geschrieben: | | P.S.: Mit welchem Programm hast du die Zeichnung gemacht? Euklid? |
Ja, richtig. Auch wenn ich eigentlich gern etwas weniger pixeliges hätte, aber für sowas geht's ja ganz gut. ^^
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