Kettenaufgabe

Sciencefreak · Anmeldungsdatum: 30.11.2004 Beiträge: 137 Wohnort: Gemeinde Schwielosee

Ich hoffe jemand kann mir bei der Aufgabe weiterhelfen. Ich habe jetzt 2 Lösungen mit unterschiedlichen Ergebnissen und weiß zwar welche richtig ist, aber nicht warum die andere falsch sein sollte.

Eine Kette mit der Länge 1m liegt zusammengefaltet auf einem 1m hohem Tisch. Nun wird ein Ende der Kette ein Stück über den Tisch gezogen, damit die Kette anfängt vom Tisch zu gleiten, dabei tritt keine Reibung auf. Und die Kette wird mit konstanter Bescheunigung beschleunigt. Berechne die Zeit bis beide Kettenenden am Boden liegen.

Für beide Fälle gilt erst mal, dass sich jeder Teil der Kette in der Luft gleichschnell bewegt.
1.Ansatz:Energieerhaltung:
Wenn die Kette vollständig in der Luft ist, so befindet sich ihr Schwerpunkt in der Höhe 0,5m. Nach der Energieerhaltung gilt also für diesen Zeitpunkt:

Somit hat man 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten (m kann man rauskürzen), welches man lösen kann.

2.Ansatz: Newtonsches Axoim:

Bei dem Ansatz geht man von einer steigenden Masse der Kette aus. Der Anstieg dieser Masse ist gerade

Wobei m die gesamte Masse der Kette ist und l deren gesamte Länge.

Da

Für die zum Zeitpunkt t wirkende Kraft aufgrund der Gravitation gilt:

Nun kann man die 2 Kräfte gleichsetzen und erhält

Anschießend muss man natürlich noch den freien Fall betrachten, aber schon in diesem ersten Teil kommt man zu 2 unterschiedlichen Ergebnissen. Ich schreibe mal nicht dazu, welches die korrekte ist, damit man selbst Argumente für beide Seiten abwiegt.

Gast

Hatte Herr Friege nicht gesagt, dass der EES nicht angewendet werden darf, weil jedes Herunterreißen des nächsten Kettengliedes als unelastischer Stoß betrachtet werden kann?

Sciencefreak · Anmeldungsdatum: 30.11.2004 Beiträge: 137 Wohnort: Gemeinde Schwielosee

Ja das hat er gesagt, aber so sehr gefällt mir die Begründung nun auch nicht. Man kann die Kette auch anders betrachten, so dass es nicht zu solchen Stößen kommt. Das kommt ganz auf die Idealisierung an. Wenn man stattdessen einfast ideal elastische Verforungen im minimalen Bereich zulässt, dann müsste der EES funktionieren

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Den zweiten Ansatz finde ich schon besser als den ersten, aber immer noch nicht ganz richtig.

Es handelt sich um eine beschleunigte Bewegung mit F=m*a,
wobei sowohl die beschleunigende Kraft F=F(t)
als auch die beschleunigte Masse m=m(t)
von der Zeit abhängen.

Die Bewegung besteht aus zwei Teilen:

1.) Die Kette gleitet vom Tisch.
Während dieser Phase nimmt F(t) zu, und m(t) bleibt konstant.

2.) Die Kette trifft auf den Boden.
Während dieser Phase nimmt F(t) ab, und m(t) nimmt ebenfalls ab.

Viele Grüße, dermarkus

Sciencefreak · Anmeldungsdatum: 30.11.2004 Beiträge: 137 Wohnort: Gemeinde Schwielosee

thomas l. · Gast

Warum soll den die Beschleunigung konstant sein? Für den ersten Teil gilt doch: F=m/l *g = m *a
Dabei sind lund a natürlich zeitabhängig.

Thomas L · Anmeldungsdatum: 21.04.2005 Beiträge: 17

ich meine natürlich

Also im ersten Teil eine exponentiell beschleunigte Bewegung.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Lieber sciencefreak,

1.) Dein Ansatz EES in 1. ist nicht falsch. Du nimmst aber fälschlicherweise an, dass die gewonnene Lageenergie durch eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung in kinetische Energie umgewandelt wird. Dabei erhältst du eine zu große kinetische Energie und eine zu große Geschwindigkeit, weil die maximale Beschleunigung, mit der du die gesamte Bewegung rechnest, erst am Ende dieser Bewegung erreicht wird.
Also ist der EES in 1. kein geschickter Ansatz, und dein Ergebnis ist falsch.

2.) Dein Ansatz in 2. für die zeitliche Zunahme für die Masse, deren Gewichtskraft die Beschleunigungskraft ist, ist richtig.
Du unterscheidest aber im folgenden nicht zwischen dieser "beschleunigenden" Masse (mit der du die Beschleunigungskraft F ausrechnest, siehe Thomas' Beitrag) und der beschleunigten Masse, die konstant bleibt. (Und du fängst wieder ein bisschen an, fertige Formeln für die konstant beschleunigte Bewegung einzusetzen.) Also ist auch hier dein Ergebnis noch nicht richtig.

3.) In der zweiten Phase, in der F(t) und m(t) beide abnehmen, stellst du in der Tat fest, dass du sie korrekt als freien Fall beschreiben kannst. Als Anfangsgeschwindigkeit für diesen freien Fall wirst du dann natürlich die Endgeschwindigkeit von Phase 1 verwenden.

Viele Grüße, dermarkus

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist die eigentliche Frage, warum der EES nicht gilt, richtig?
Also: Du kannst keine elastischen Stöße annehmen, weil sonst die Bewegung ganz anders aussehen würde. Die Aufgabe ist ja so gestellt, dass das letze Glied auf dem Tische noch in Ruhe ist, dann von der schon freien Kette einen Stoß erhält und danach die selbe Geschwindigkeit hat, wie die freie Kette. Das ist genau die "Definition" eines unelastischen Stoßes, nämlich dass die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner nach dem Stoß gleich ist. Man kann das nie mit einem elastischen Stoß erreichen, außer wenn die Geschwindigkeiten auch schon vor dem Stoß gleich waren. Aber dann tritt normalerweise ja auch kein Stoß auf...
Man könnte die Aufgabe aber umbauen, so dass die EES gilt und eigentlich auch keine wirklichen Stöße auftreten. Wenn die Kette nämlich schon längs ausgebreitet in Richtung senkrecht auf die Tischkante auf dem Teisch liegt, so dass immer die gesamte Kette beschleudnigt wird, dann kann man sowohl mit einer konstanten trägen Masse als auch mit der Energieerhaltung rechnen. Allerdings hat man dann auch keine konstante Beschleunigung mehr, weil ja die schwere Masse sich ändert (wie auch schon bei der Originalaufgabe), aber nicht mehr die träge Masse.

Wenn Du die überlegst, wie das aussehen müßte, wenn da nur elastische Stöße vorkommen, wird das sehr kompliziert. Bei jedem Stoß, die ja im Verlauf recht häufig vorkommen, wenn nicht sogar unendlich oft, wenn man von unendlich vielen/unendlich kleinen Gliedern ausgeht, müßte man ausrechnen, wie stark sich die Geschwindigkeit der fallenden Kette ändert und welche Geschwindigkeit dann das neue, freie Glied hat, das ja erstmal viel schneller wäre, als die anderen Glieder der Kette. Das neue Glied würde dann also sein Vorgänger erstmal überholen, so dass es dann einen neuen Stoß gäbe, wobei voher noch ein Stoß mit dem nächsten neuen Glied auf der Tischplatte ein zu planen wäre. Dann wirkt auf alle Glieder, die nicht mehr auf dem Tisch sind auch noch die Schwerkraft, etc. Also das wäre nicht so einfach zu rechnen. Es geht also nicht darum, dass man technisch einen fast elastischen Stoß realisieren könnte, sondern um die Tatsache, dass der Ablauf dann völlig anders wäre. Du hättest innerhalb der Kette dann Schwingungen (in der Festkörperphysik würde man dann von Phononen sprechen), in denen auch wieder Energie steckt, die man von der Energiebilanz abziehen müßte und so weiter und so fort...

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich wollte nochmal schreiben, wie ich die Aufgabe lösen würde. Das ist eigentlich genau die Lösung unter 2. aber vielleicht so etwas klarer...? Naja, mal sehen:
Ich bezeichne die Gesamtmasse der Kette mal mit groß M und das Stück, das schon vom Tisch gefallen ist mit s(t). Die Masse, die schon vom Tisch ist, also der Teil, der beschleunigt wird und gleichzeitig durch seine Gewichtskraft beschleunigend wirkt ist klein m(t).

Und aus

kann man dann das hier schreiben:

M/l kann mann netterweise kürzen und kommt so auf die Differentialgleichung hier:

Eigentlich sieht die für mich jetzt schon mal sehr kompliziert aus und ich wüßte jetzt nicht so einfach, wie man die allgemein lösen könnte... gibt aber sicher einen Trick. Aber wir brauchen das ja gar nicht, weil in der Aufgabe ja eine konstante Beschleunigung gegeben war. Das ist für mich jetzt auch irgendwie plausibel, weil die beschleunigende Masse halt immer gleich der beschleunigten Masse ist, die aber kontinuierlich zu nimmt. Eigentlich muß da so etwas rauskommen, wie eine konstante Beschleunigung, aber ich könnte das jetzt nicht so sicher sagen, wenn ich nur das Problem kennen würde (fallende Kette) und nicht aus der Aufgabe das mit der konstanten Beschleunigung hätte.
Jedefalls, wenn man als Ansatz eben dieses konstante a nimmt, dann kann man auch wieder die bekannten Gleichungen für gleichmäßige Bewegung annehmen und bekommt:

In die DGL eingesetzt:

und sieht dann leicht, wenn man die ganze Gleichung durch (1/2 at²) teilt, dass

oder

rauskommt.
@dermarkus: So weit ist das also alles legitim, was in der ursprünglichen Lösung auch schon drin stand. Nur ist es sicher besser, wenn man "systematischer" vorgeht. Da ist es dann halt wichtig, erstmal die Differential-Gleichung auf zu stellen und dann nach einer Lösung zu suchen. Wenn ein Lösungsansatz in der Aufgabe schon gegeben ist, kann man ja wunderbar sehen, ob der die DGL wirklich löst und dann halt noch die Konstanten bestimmen. Das ist die richtige systematische/formelle Vorgehensweise. Das andere erschien mir auch eher etwas chaotisch, wenn auch richtig...

Gruß
Marco

Sciencefreak · Anmeldungsdatum: 30.11.2004 Beiträge: 137 Wohnort: Gemeinde Schwielosee

Vielen Dank für die vielen Antworten. Ich glaub so langsam kann ich es nachvollziehen, aber die ganze Sache mit der Anschauung bei unendlich Kettengliedern ist halt nicht so leicht, aber as_string hat es ja verständlich rübergebracht.

@dermarkus: Ich weiß, dass meine Lösung falsch ist, aber ich wollte halt meinen Fehler verstehen. Ich bin nicht der Mensch, dem man sagen kann, dass das so ist und ich mich damit abfinden muss.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, ich habe gerade den Clou der zusammengelegten Kette verstanden!

Sciencefreak · Anmeldungsdatum: 30.11.2004 Beiträge: 137 Wohnort: Gemeinde Schwielosee

Ich hatte leider in der Klausur den falschen Lösungsansatz benutzt gehabt, aber jetzt weiß ich wenigstens warum er falsch ist.
Das mit der Klausur habe ich so oder so nicht allzu ernst genommen, damit kann ich dann nächstes Jahr anfangen

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hallo!

Liegt inzwischen eine Lösung der DGL vor?

mfG
Franz