Potential aus kugelsymmetrischer Ladungsverteilung [gelöst]

Gogoman96x · Anmeldungsdatum: 25.09.2018 Beiträge: 32 Wohnort: Gießen

Hallo
Ich habe eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung gegeben.

.
Ich würde das Potential gerne berechnen indem ich den Laplace Operator wegintegriere . Hier habe ich die Probleme denn ich weiß nicht ob ich bestimmte Integrale berechnen muss oder unbestimmte und warum.
Mein Ansatz:

und dann das

rüberziehen danach nach r aufintegrieren bis man nur noch das phi da stehen hat. Ich zeige mal hier den ersten Schritt bin mir sicher das schon hier der Fehler ist. Wobei ich hier r<R betrachte

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich kann dir hier nicht ganz folgen. Was passiert mit der Variablen R, die am Ende bei dir gar nicht mehr vorkommt. Du ignorierst ja die Sprungfunktion.
Du meinst wohl:

Warum schreibst du es nicht gleich so, das ist weniger irritierend?

Dein Ansatz ist außerdem ein kleiner Overkill, da du das ja viel einfacher mit dem Satz von Gauß lösen kannst.

Wenn schon, dann müsstest du die Green'sche Funktion der Laplacegleichung strapazieren und über das Raumgebiet integrieren.

Das ist natürlich nichts anderes, als eine Zerlegung der kontinuierlichen in kleine Punktladungen - es kommt auf das gleiche raus, bzw. ist auch das selbe.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Integriert werden soll ja bis r, der 1. Schritt für

müsste also wahrscheinlich so aussehen:

Dann durch r^2 dividieren und nochmals integrieren.
Die Konstante

muss hier aber gleich 0 sein, damit man auf das richtige Potential kommt. Wäre die Konstante ungleich null, ergäbe sich ein Term

, was dem Potential einer Punktladung beim Ursprung entspricht, und eine solche ist nicht vorhanden. Die 2. Integrationskonstante ergibt sich aus der Stetigkeit des Potentials bei R und der Festlegung von

für r gegen unendlich.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Gogoman96x · Anmeldungsdatum: 25.09.2018 Beiträge: 32 Wohnort: Gießen

Vielen Dank smile

. Müsste es jetzt hinkriegen