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Maurice
Anmeldungsdatum: 08.04.2008
Beiträge: 1
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 Maurice Verfasst am: 08. Apr 2008 00:49 Titel: Bahngleichung / Schräger Wurf mit Luftreibung |
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Moin,
wir haben als PU Thema "Bau eines Katapults" und ich bin dabei für die Physik zuständig, die dahintersteckt.
Nun habe ich zwei Probleme:
1. Um die Anfangsenergie des Steins zu bestimmen, brauche ich die Geschwindindigkeit des Katapultarmes. Komm ich irgendwie über die Kraft, mit der der Arm am Anfang (oder auch im Moment des Abwurfs) nach oben drückt da ran? Oder hat jemand eine andere Idee? Mein Lehrer meinte schon, dass er das nicht erwartet, aber ich hätte es halt gerne komplett und wenn irgendwer dazu ne Idee hätte, wärs ja nicht verkehrt.
Oder hat ansonsten jemand eine Idee, wo ich ne Lichtschranke herbekomme, mit der ich die Geschwindigkeit ganz einfach messen kann?
2. Mein Lehrer meinte, wenn ich ihm da für die Flugweite einfach nur den schrägen wurf berechne, sei ihm das zu wenig. Ich solle doch die Luftreibung miteinbeziehen. Er meinte dann etwas von Bahngleichung/Differentialgleichung. Hat hier jemand nen Link oder ein Buch, wo ich mir das einmal komplett anlesen kann, was ich dafür brauche? (möglichst verständlich, habe Mathe LK, sind ansich auch mit allen Themen durch, aber soetwas ist wohl eher Unistoff)
Oder gibt es nen Weg einfacher an die Sache heranzugehen, bzw. wie sollte ich überhaupt da rangehen?
Gruß
Maurice |
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xkris
Anmeldungsdatum: 06.10.2005
Beiträge: 281
Wohnort: LÜbeck
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| xkris Verfasst am: 08. Apr 2008 09:11 Titel: Re: Bahngleichung / Schräger Wurf mit Luftreibung |
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| Maurice hat Folgendes geschrieben: | Moin,
wir haben als PU Thema "Bau eines Katapults" und ich bin dabei für die Physik zuständig, die dahintersteckt.
Nun habe ich zwei Probleme:
1. Um die Anfangsenergie des Steins zu bestimmen, brauche ich die Geschwindindigkeit des Katapultarmes. Komm ich irgendwie über die Kraft, mit der der Arm am Anfang (oder auch im Moment des Abwurfs) nach oben drückt da ran? Oder hat jemand eine andere Idee? Mein Lehrer meinte schon, dass er das nicht erwartet, aber ich hätte es halt gerne komplett und wenn irgendwer dazu ne Idee hätte, wärs ja nicht verkehrt.
Oder hat ansonsten jemand eine Idee, wo ich ne Lichtschranke herbekomme, mit der ich die Geschwindigkeit ganz einfach messen kann?
2. Mein Lehrer meinte, wenn ich ihm da für die Flugweite einfach nur den schrägen wurf berechne, sei ihm das zu wenig. Ich solle doch die Luftreibung miteinbeziehen. Er meinte dann etwas von Bahngleichung/Differentialgleichung. Hat hier jemand nen Link oder ein Buch, wo ich mir das einmal komplett anlesen kann, was ich dafür brauche? (möglichst verständlich, habe Mathe LK, sind ansich auch mit allen Themen durch, aber soetwas ist wohl eher Unistoff)
Oder gibt es nen Weg einfacher an die Sache heranzugehen, bzw. wie sollte ich überhaupt da rangehen?
Gruß
Maurice |
1.)die Ausgangsenergie lässt sich grob aus der Federenergie gewinnen, mit der das Katapult gespannt ist. Aus der lässt sich wiederrum die Startgeschwindigkeit ableiten, musst natürlich wissen wie schwer dein Geschoss ist.
2.)Dazu solltest du in jedem besseren Mechanikbuch was finden können. Als gute Physikbücher mit anschaulichen Erklärungen kann ich auch den Tipler oder den Halliday empfehlen. Ist alles gut erklärt und mit Bildern dargestellt. Geht nicht so in die Tiefe wie Bespielsweise ein Gerthsen aber ist auf jeden Fall gute Lektüre. Die haben auch immer witzige Beispiele und ich könnte mir vorstellen, dass ein Katapult dabei ist. |
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Dr. Mechanikus
Anmeldungsdatum: 07.04.2008
Beiträge: 19
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| Dr. Mechanikus Verfasst am: 08. Apr 2008 13:23 Titel: |
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1. Differentialgleichungen für die Bewegung:
Vertikale Richtung: 
Horizontale Richtung: 
Luftreibungskoeffizient :  -> Reibungskraft 
Summe aller Kräfte in vertikaler Richtung:
 (1)
Summe aller Kräfte in horizontaler Richtung:
 (2)
Ergebnis: zwei Differentialgleichungen
Lösungsansatz für (2)
Einsetzen in (2):
Ergibt
Der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit beim Verlassen des Katapults folgt aus der kinetischen Energie der Kugel
zu
In dem Augenblick, in dem die Kugel das Katapult verlässt, soll der Winkel zwischen Katapultarm und Erdoberfläche  sein.
Dann gilt
=v_0 \sin(\alpha) )
=v_0 \cos(\alpha) )
Dann ist
=C_1\,e^{-\frac{\mu}{m} \,0}=v_0 \sin(\alpha))
also
)
Die horizontale Geschwindigkeit ergibt sich zu
=v_0 \sin(\alpha)e^{-\frac{\mu}{m} \,t})
Der horizontale Weg ergibt sich zu
\frac{m}{\mu}\,e^{-\frac{\mu}{m} \,t}+C_3)
Da der zurückgelegte Weg am Anfang x(t=0) Null ist, gilt:
\frac{m}{\mu})
Die Lösung in x-Richtung lautet also:
=\frac{mv_0}{\mu}sin(\alpha)\left(1-e^{-\frac{\mu}{m}t}\right))
In y-Richtung geht man analog vor. Betrachte zunächst den homogenen Teil der Differentialgleichung (1):
 (3)
Die Lösung der homogenen DGL (3) ist
=\frac{mv_0}{\mu}cos(\alpha)\left(1-e^{-\frac{\mu}{m}t}\right))
Die Berechnung läuft wie für x nur eben mit der Anfangsbedingung
Die Gesamtlösung ist die Summe aus homogener Lösung und partikulärer Lösung:
Für die partikuläre Lösung macht man einen Ansatz "vom Typ der rechten Seite", also
da  (die Rechte Seite der DGL (1) ) eine Konstante ist.
Es gilt:
Einsetzen in (1)
gibt
also
und somit
=\frac{mv_0}{\mu}cos(\alpha)\left(1-e^{-\frac{\mu}{m}t}\right)+\frac{-mg}{\mu}t+C_6)
=\frac{m}{\mu}\left[v_0cos(\alpha)\left(1-e^{-\frac{\mu}{m}t}\right)-gt\right]+C_6)
Die Konstante C_6 ist die Höhe der Kugel über dem Erdboden beim Verlasssen des Katapults. Die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel ergibt sich aus ihrer kinetischen Energie beim Verlassen des Katapults (siehe oben). Diese ist näherungsweise gleich der im gespannten Katapult gespeicherten Energie, wenn man die kinetische Energie des Katapultarms selbst und den Zuwachs der potentiellen Energie der Masse beim "Hochheben" nach Auslösen des Katapults vernachlässigt.
Zuletzt bearbeitet von Dr. Mechanikus am 09. Apr 2008 10:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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xkris
Anmeldungsdatum: 06.10.2005
Beiträge: 281
Wohnort: LÜbeck
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| xkris Verfasst am: 08. Apr 2008 23:13 Titel: |
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| Dr. Mechanikus hat Folgendes geschrieben: |
.... Die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel ergibt sich aus ihrer kinetischen Energie beim Verlassen des Katapults (siehe oben). Diese ist näherungsweise gleich der im gespannten Katapult gespeicherten Energie, wenn man die kinetische Energie des Katapultarms selbst und den Zuwachs der potentiellen Energie der Masse beim "Hochheben" nach Auslösen des Katapults vernachlässigt. |
Ja, schön ausführlich. Aber die potentielle Energie beim Hochheben der Masse muss nicht berücksichtig werden wenn das Katapult bereits im geladenen Zustand gespannt wird, oder mache ich hier einen Denkfehler? |
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Dr. Mechanikus
Anmeldungsdatum: 07.04.2008
Beiträge: 19
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| Dr. Mechanikus Verfasst am: 09. Apr 2008 10:37 Titel: |
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Die potentielle Energie wird relativ zu eine beliebig wählbaren Bezugshöhe berechnet. Wenn die Bezugshöhe die LAge der Masse im gespannten Katapult ist, dann ist in diesem Zustand die Potentielle Energie =0. Es Existiert nur gespeicherte Formänderungsenergie in der Feder (im Katapult):
Drehsteifigkeit des Katapults: 
Drehwinkel des Katapults beim Spannen: 
Unmittelbar nach Abschuss (Masse verlässt gerade das Katapult) gilt
h = Höhe der Masse beim Verlassen des Katapults (C_6 in obiger Rechnung)
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xkris
Anmeldungsdatum: 06.10.2005
Beiträge: 281
Wohnort: LÜbeck
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| xkris Verfasst am: 09. Apr 2008 20:24 Titel: |
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| Dr. Mechanikus hat Folgendes geschrieben: | Die potentielle Energie wird relativ zu eine beliebig wählbaren Bezugshöhe berechnet. Wenn die Bezugshöhe die LAge der Masse im gespannten Katapult ist, dann ist in diesem Zustand die Potentielle Energie =0. Es Existiert nur gespeicherte Formänderungsenergie in der Feder (im Katapult):
Drehsteifigkeit des Katapults:
Drehwinkel des Katapults beim Spannen:
Unmittelbar nach Abschuss (Masse verlässt gerade das Katapult) gilt
h = Höhe der Masse beim Verlassen des Katapults (C_6 in obiger Rechnung)
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Ja, stimmt. Hab ich nicht richtig nachgedacht  |
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