Fit für Messergebnisse bestimmen.

Xolotl · Anmeldungsdatum: 17.02.2006 Beiträge: 85

Hallo,

ich habe eine Liste Messergebnissen und soll die Parameter einer vorgegebenen Fit-Funktion bestimmen.
Die Fit-Funktion sieht so aus

, wobei ich die Parameter a und b bestimmen soll.

Vorgegeben ist weiterhin, dass ich die Parameter über 2 lineare Regressionen bestimmen soll. Ein mal durch eine lineare Regression von y(x) und ein mal von y(x²).

Meine Überlegung ist, dass die Steigung der Regressionsgeraden s1 von y(x) dem a entspricht.
b wäre dann

, wobei s2 die Steigung der Regressionsgeraden von y(x²) ist.

Allerdings kommt mir das erstens zu einfach vor und zweitens sind meine Ergebnisse auch nicht besonders schön.

Ich hab zudem mal versucht das Ganze mit Origin zu lösen, was auch klappt, allerdings sind die Parameter ganz anders, was mich darauf bring dass mein Ansatz falsch ist.

Habt ihr eine Idee?

Vielen Dank schon mal.

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Nun, wenn die Methode schon auf diese Weise vorgegeben ist, würde ich es zunächst einmal genauso machen wie du schon geschrieben hast.

In welcher Weise / wie stark weichen denn die Werte von der Fit-Funktion ab? Hast du berücksichtigt, jeweils auch wirklich nur den Anstieg der annähernd linearen Teile zu berücksichtigen?

Vielleicht wäre es auch günstig wenn du deine Werte mit deiner gewonnenen Fit-Funktion mal hochladen/zeigen könntest.

Xolotl · Anmeldungsdatum: 17.02.2006 Beiträge: 85

Ok, gute Idee.

Erst mal zum Vergleich.
Origin gibt mir folgende Parameter raus:
a=0.83293
b=3889.33548

Die Steigungen der Regressionsgeraden sind
s1 von y(x): 0.08566110 (=a)
s2 von y(x²): 0.00001322 =>

Für die Bestimmung der Parameter durch die Regressionen habe ich immer alle Werte verwendet. Ich hatte es mir eigentlich so gedacht, dass auf jeden Fall eine nach Unten geöffnete quadratische Funktion herauskommt, die um eine lineare Funktion "erhöht" ist und dadurch unsymmetrisch wird. Für diese "Erhöhung" muss man doch auch alle Punkte verwenden.

Die Parameter sind wie man sehen kann aber komplett verschieden.

Das zeigt sich natürlich auch wenn ich den Fit zeichne. Die Werte von Origin sehen gut aus, verwende ich die Parameter der Regression, kommt annähernd eine Gerade heraus.

Auch wenn die Methode fest gegeben ist, habe ich nicht vielleicht einen Fehler bei der Parameterbestimmung gemacht?

PS: Sorry, für die hässlichen Excel Graphen ;-)

Xolotl · Anmeldungsdatum: 17.02.2006 Beiträge: 85

Ich häng auch mal die Rohen Messergebnisse an.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Xolotl · Anmeldungsdatum: 17.02.2006 Beiträge: 85

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich verstehe eigentlich nicht, wie man eine quadratische Funktion mittels einer linearen Regression anpassen soll. Vieleicht geht das mit einem Trick, den sehe ich aber momentan nicht.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube nicht, dass deine Aufgabe so gemeint sein soll, dass du an deine Daten zum einen eine Ursprungsgerade und zum anderen, in einem neuen Extradurchgang, eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung anfitten sollst. Denn die Parameter a und b, die dabei herauskommen, haben mit den Parametern, die du suchst , dann ja nur sehr wenig zu tun.

Ich bin mir sicher, dass du zwar zwei lineare Regressionen durchführen sollst, dies aber jeweils für die Summe einer Ursprungsgeraden und einer Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung (ich sag mal "Ursprungsparabel") tun sollst.

Also unbedingt die Funktionswerte, zu denen du die Differenzquadrate mit den Messwerten bildest, mit der gesamten Funktion "Gerade plus Ursprungsparabel" ausrechnen und natürlich nicht nur mit der Geradengleichung oder nur der Ursprungsparabelgleichung.

Fitprogramme machen so etwas iterativ: Man nimmt einen Schätzwert zum Beispiel für b an, und ermittelt dann mit einer linearen Regression den Parameter a, für den dann die Gesamtfunktion am besten zu den Messwerten passt (die kleinste Summe der Fehlerquadrate ergibt). Diesen Parameter a nimmt man dann als festen Wert für eine lineare Regression, um den Parameter b in unserer Summenfunktion zu bestimmen.

Und das kann man dann nochmal wiederholen, also das so erhaltene b fest nehmen und damit erneut mit einer Regression für a den besten zugehörigen Wert für a bestimmen, und für dieses a dann mit einer Regression den besten dazupassenden Wert von b. Wenn sich dabei a und b nur noch wenig geändert haben, dann spricht das meistens dafür, dass man damit dann schon ziemlich gut liegt.