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Ultima
Anmeldungsdatum: 15.04.2005
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 Ultima Verfasst am: 21. Okt 2007 10:56 Titel: Lagrange Mechanik, Hilfe |
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Guten Tag,
ich möchte gerne eine Lagrange Funktion aufstellen für den harmonischen Oszillator.
Also bin ich bisher so vorgegangen, dass ich als verallgemeinerte Koordinate die Höhe nehme. Dann kann ich ja einfach potenzielle und kinetische Energie bestimmen und so sieht es dann aus:
=\frac{1}{2}m\dot{h}^2-mgh)
Stimmt das???
Außerdem möchte ich jetzt noch zeigen, dass die Wirkung über eine Periode verschwindet also S(T)=0 gilt! Jetzt weiß ich aber überhaupt nicht mehr weiter, mit dem obigen Ansatz und der Integration dieser Lagrange Funktion über  komme ich überhaupt nicht auf Null, kann mir bitte jemand schnell weiterhelfen?
Danke |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 21. Okt 2007 11:18 Titel: Re: Lagrange Mechanik, Hilfe |
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Beim harmonischen Oszillator die Auslenkung als verallgemeinerte Koordinate zu nehmen klingt schonmal gut. Wenn man dabei den vertikalen Federschwinger im Kopf hat, kann man die durchaus h nennen, soweit alles okay.
| Ultima hat Folgendes geschrieben: | Also bin ich bisher so vorgegangen, dass ich als verallgemeinerte Koordinate die Höhe nehme. Dann kann ich ja einfach potenzielle und kinetische Energie bestimmen und so sieht es dann aus:
Stimmt das??? |
Leider nicht. So wie es jetzt dasteht, sieht das eher aus wie z.B. die Lagrange-Funktion für einen freien Fall. Schau dir das nochmal an.
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Ultima
Anmeldungsdatum: 15.04.2005
Beiträge: 151
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| Ultima Verfasst am: 21. Okt 2007 21:07 Titel: |
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So ein Mist, wie wäre es denn, wenn ich den Ansatz:
=Asin(\omega t +\phi))
nehme und das ganze dann für h' ableite und alles einsetze, würde das dann passen, oder noch besser, ich nehme für die potenzielle Energie
 wobei  ist.
Welche Version gefällt dir denn besser?
Ich brauche die Aufgabe dringend bis Dienstag früh, also wäre es schön wenn wir diese bis morgen abend so einigermaßen richtig gelöst haben 
mfg |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 22. Okt 2007 18:34 Titel: |
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| Ultima hat Folgendes geschrieben: | So ein Mist, wie wäre es denn, wenn ich den Ansatz:
nehme und das ganze dann für h' ableite und alles einsetze, würde das dann passen |
Was ist denn das für ein Ansatz? Das ist doch schon die Lösung! Wenn du die hast, musst du auch die Lagrange-Gleichung nicht mehr aufstellen.
| Ultima hat Folgendes geschrieben: | oder noch besser, ich nehme für die potenzielle Energie
wobei ist. |
Mit ersterem bin ich einverstanden, mit zweiterem nicht. Woher weißt du denn das mit dem Omega schon? Ich denke bei diesem Problem geht es darum den Lagrange-Formalismus zu verstehen indem man ein verhältnismäßig einfaches Problem wie den harmonischen Oszillator (dessen Lösung man kennt) von Grund auf löst, also ohne auf vorheriges Wissen zurückzugreifen – sonst müsste man ja gar nicht erst anfangen. ;-)
Also versuch' nochmal die Lagrange-Funktion in Abhängigkeit von h und h' aufzustellen, ohne dabei schon auf explizites Wissen über das Verhalten von h und h' zurückzugreifen. Dann kann es weitergehen.
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Ultima
Anmeldungsdatum: 15.04.2005
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| Ultima Verfasst am: 22. Okt 2007 20:23 Titel: |
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Hallo nochmal,
bei der Aufgabe heißt es nur:
1) Stellen Sie die Lagrange-Funktion auf!
2) Zeigen Sie, dass für eine vollständige Periode des Oszillator die Wirkung verschwindet, dh. S(T)=0.
Also meiner Meinung nach stimmt doch die Lagrange Funktion schon wie sie da steht mit Ekin-Epot.
Jetzt fehlt nur noch die 2) und dafür darf ich doch den Lösungsansatz verwenden oder nicht???
Wenn ich natürlich die Lagrange-gleichung verwende würde ich wahrscheinlich auf die DGL kommen, die du da stehen hast und aus der bekomme ich die Lösungen, aber ich glaube genau um das geht es in dieser Aufgabe nicht, also darf ich es wohl voraussetzen, ähnlich war es nämlich auch in der vorlesung,
wäre dir nochmals für ne meinung dankbar |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 22. Okt 2007 20:52 Titel: |
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| Ultima hat Folgendes geschrieben: | | Also meiner Meinung nach stimmt doch die Lagrange Funktion schon wie sie da steht mit Ekin-Epot. |
Wie in dem ersten Post? Nicht für den Sachverhalt, da passt die potentielle Energie nicht. Setzt man diese Lagrange-Funktion in die Euler-Lagrange-Gleichung ein, erhält man:Das ist die DGL für den freien Fall (bzw. den senkrechten Wurf), aber sicher nicht die für den harmonischen Oszillator.
Es muss ja aber beim Oszillator noch ein Potential geben, das die rücktreibende Kraft verursacht. Du hast es ja sogar schonmal hingeschrieben, nur noch nicht als ganzes als Lagrange-Funktion. ;-)
| Ultima hat Folgendes geschrieben: | | Jetzt fehlt nur noch die 2) und dafür darf ich doch den Lösungsansatz verwenden oder nicht? |
Sicher, dafür muss man sogar die Lösung verwenden würde ich mal sagen. ^^ – Ich wollte nur darauf hinweisen, dass man beim Aufstellen der Lagrange-Funktion nicht schon die Lösung für die generalisierten Koordinaten einsetzen darf, das ist ja nicht Sinn der Sache. In der Regel will man die ja erst erhalten.
Mit der (richtigen) Lagrange-Funktion, eingesetzt in die Euler-Lagrange-Gleichungen, kommst du ja auf eine DGL die die bekannte Lösung des harmonischen Oszillators hat.
Diese dann in die Lagrange-Funktion eingesetzt (also die Abhängigkeit von den generalisierten Koordinaten z.B. durch eine Zeitabhängigkeit ersetzt), ermöglicht über eine Periode zu integrieren. Damit sollte man dann auch problemlos bei Null landen. :-)
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Ultima
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| Ultima Verfasst am: 22. Okt 2007 22:11 Titel: |
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Jetzt haben wir uns fast zu 100 % verstanden
Ich meinte natürlich als Lagrange-Funktion folgende:
=0{,}5 \, m\dot{x}^{2}-0{,}5 \, Dx^2)
Wenn ich diese Funktion in die Lagrange Gleichung einsetze, lande ich genau bei der Schwingungs-DGL, die ich dann lösen kann und genau die Lösungsfunktionen etc. erhalte, die ich dann bei der Teilaufgabe 2) brauche um zu zeigen S(T)=0.
Ich muss sagen, dass ich schon begeistert bin, was man damit alles machen kann. Das ist ja ein vollkommen anderer Zugang. Allerdings haben wir gleich in der ersten Vorlesung das Zeugs hier gemacht und deshalb hatte ich meine Probleme aber mittlerweile gehts.
Welches buch würdest du denn in diesem zusammenhang empfehlen? der Professor hat den Landau empfohlen! |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 23. Okt 2007 20:17 Titel: |
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| Ultima hat Folgendes geschrieben: | Jetzt haben wir uns fast zu 100 % verstanden
Ich meinte natürlich als Lagrange-Funktion folgende:
Wenn ich diese Funktion in die Lagrange Gleichung einsetze, lande ich genau bei der Schwingungs-DGL, die ich dann lösen kann und genau die Lösungsfunktionen etc. erhalte, die ich dann bei der Teilaufgabe 2) brauche um zu zeigen S(T)=0. |
Klingt perfekt. :-)
| Ultima hat Folgendes geschrieben: | Ich muss sagen, dass ich schon begeistert bin, was man damit alles machen kann. Das ist ja ein vollkommen anderer Zugang. Allerdings haben wir gleich in der ersten Vorlesung das Zeugs hier gemacht und deshalb hatte ich meine Probleme aber mittlerweile gehts.
Welches buch würdest du denn in diesem zusammenhang empfehlen? der Professor hat den Landau empfohlen! |
Aller Anfang ist schwer. Aber es stimmt, Lagrange-Formalismus ist schon toll. ^^
Was die Bücher angeht kann ich dir konkret nicht weiterhelfen, das ist bei mir auch alles noch ziemlich frisch. ^^ – Uns wurden verschiedene Bücher empfohlen, aber keins konkret. Unter anderem dabei waren Landau/Lifschitz, Fließbach, Nolting, Kuypers, ... das Buch wird es sowieso nicht geben, ich würde empfehlen dir einfach mal in der Uni-Bibliothek das entsprechende Regal zu Gemüte zu führen und dich dann für das Werk zu entscheiden dass dir am meisten zusagt. Nur kurz noch zum Landau/Lifschitz: das Buch genießt ja wohl einen sehr guten Ruf, und das sicher nicht unberechtigt. Für den Einstieg fand ich ihn allerdings nicht ganz so günstig, da er das Ganze doch in recht hoher Komplexität behandelt (bzw. die "einfachen Sachen" eben u.U. entsprechend kurz ^^). Wahrscheinlich hat man an dem Buch erst so richtig seine Freude wenn man den Einstieg halbwegs gepackt hat und tiefer in die Materie rein will. ... Aber wie gesagt: nichts geht über selbst ansehen und entscheiden.
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