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S.Gl. mit N harmonischen Oszillator-Potentialen
 
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jentowncity



Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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Beitrag jentowncity Verfasst am: 08. Jun 2007 11:57    Titel: S.Gl. mit N harmonischen Oszillator-Potentialen Antworten mit Zitat

Hallo an alle!

Hab hier wieder eine Aufgabe, die mir Schwierigkeiten bereitet:

Lösen Sie die 1D Schrödinger-GL. für das N-fache harmonische Potential:



Also die SG sieht dann meiner Meinung nach so aus:



Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll. Gibts hier irgend einen Trick wie man das auf einen "normalen" H.O. bringen kann, d.h. auf eine schon bekannte Lösung? Oder muss man das ganz von vorne lösen?

MfG jentowncity
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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Beitrag as_string Verfasst am: 08. Jun 2007 12:44    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Also, mein Gedanke wäre, dass ein solches Potential ja wieder ein normales, einfaches harmonisches Potential ergibt. Wenn Du die ganzen (x-xi)² ausmultiplizieren würdest und dann alles addierst, dann würde ja letztenlich wieder eine quadratische Funktion raus kommen, die dann ein anderes und auch ein anderes Minimum hat, aber definitiv wieder parabelförmig ist.
Wie man das aber jetzt allgemein machen könnte, weiß ich leider auch nicht.

Gruß
Marco
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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Beitrag schnudl Verfasst am: 08. Jun 2007 14:27    Titel: Re: S.Gl. mit N harmonischen Oszillator-Potentialen Antworten mit Zitat

Wenn man den Ansatz von as_string weiterspinnt, könnte man ansetzen (oder hab ich da was übersehen???):

\\edit: natürlich hab ich was übersehen, nämlich den konstanten Beitrag...
Es muss der Ansatz gemacht werden



*** gelöscht ***

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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 08. Jun 2007 22:09, insgesamt 4-mal bearbeitet
smn



Anmeldungsdatum: 08.06.2007
Beiträge: 25

Beitrag smn Verfasst am: 08. Jun 2007 18:45    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo, wenn man die N Parabeln überlagert erhält man doch wieder eine Parabel mit Omega^2=Sum[(omega i)^2], die aber zusätzlich nach oben verschoben ist. (und natürlich nach links/rechts). Oder seh ich das falsch? Man hat also einen harm. Osz. für den das Potential am Minimum aber nicht Null ist. Ich denk mal dann sind die Energien einfach E(n)= h Omega (n+0.5) + V(mini)
Ist das richtig? (wäre fast zu einfach) Und was ist mit den Eigenfkten, sehen die wie sonst auch aus?
Gruß Simon
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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Beitrag schnudl Verfasst am: 08. Jun 2007 22:12    Titel: Antworten mit Zitat

smn hat Folgendes geschrieben:

Ist das richtig? (wäre fast zu einfach) Und was ist mit den Eigenfkten, sehen die wie sonst auch aus?
Gruß Simon


Das mit der Konstante müsste so stimmen, denn aus



folgt



Somit hat man den gleichen Satz von Eigenfunktionen, nur mit um C verschobenen Eigenwerten. Mein letztes Posting war natürlich Schwachsinn...

_________________
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jentowncity



Anmeldungsdatum: 08.05.2005
Beiträge: 132
Wohnort: hamburg

Beitrag jentowncity Verfasst am: 09. Jun 2007 12:30    Titel: Antworten mit Zitat

Danke an alle für so zahlreiche Beteiligung Big Laugh
Sorry, dass ich erst jetzt antworte, hatte gestern viel zu tun.

Also ich denke auch, dass es hier irgendwie möglich sein muss diese Summe in der von schnudl angegebenen Form auszudrücken:

Aber wie sieht denn das konkret aus? Es ist ja



deswegen habe ich nicht verstanden, was du, smn, mit deiner Antwort gemeint hast. Wie willst du denn die Überlagerung ausdrücken, wenn du benutzen willst


Hat jemand eine Idee wie man zu so einem Ausdruck wie schnudl angegeben hat kommt?
Ich sehe es irgendwie im Moment nicht.
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 09. Jun 2007 13:13    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast in Summe auf jeden Fall einen Ausdruck



welcher zu einem vollständigen Quadrat ergänzt werden kann:



Im Detail erhält man , und durch Gleichsetzen der linken und rechten 0., 1. und 2. Ableitungen des Ansatzes



1. Ableitung:



2. Ableitung:



w.z.b.w.

An der Stelle x=0 in die erste Ableitung einsetzen liefert



Zu guterletzt setzt Du x=0 in die erste Gleichung ein und erhältst C.

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jentowncity



Anmeldungsdatum: 08.05.2005
Beiträge: 132
Wohnort: hamburg

Beitrag jentowncity Verfasst am: 09. Jun 2007 13:55    Titel: Antworten mit Zitat

Ah, danke schnudl!

Dann sieht die Lösung also so aus:

mit




Daraus folgt dann:


Und als Eigenfunktionen kommen dann die "normalen" Hermitpolynome raus?

Edit: alles klar, hat sich geklärt, die Eigenfunktionen sind nur um die Translation verschoben.
Die Aufgabe ist dann erledigt.
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