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Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators
 
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maikmo



Anmeldungsdatum: 05.05.2020
Beiträge: 4

Beitrag maikmo Verfasst am: 05. Mai 2020 16:28    Titel: Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo zusammen,

für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator im unendlich tiefen Potentialtopf lassen sich Eigenzustände, sowie Eigenenergien finden. Ich verstehe nun allerdings nicht, welche Energie dieses Teilchen haben soll.

Meine Ideen:
Wenn man die allgemeine Lösung bestimmt, so erhält man (unendlich)viele Eigenzustände. Das Teilchen befindet sich trotzdem nur in einem bestimmten (wenn auch vielleicht unbekannten) Eigenzustand oder? Was mich irritiert ist die Tatsache, dass ein Erwartungswert der Energie berechnet werden kann. Das klingt für mich nämlich so, als könnte ich bei zwei identisch aufgebauten Potentialtöpfen zwei unterschiedliche Energien der Teilchen messen. Dementsprechend wären sie aber nicht identisch gewesen, da die Energie ja nicht einfach verschwinden oder dazukommen kann.

Würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könnt. Hoffentlich ist die Frage verständlich ausgedrückt
LG
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 05. Mai 2020 19:57    Titel: Re: Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators Antworten mit Zitat

maikmo hat Folgendes geschrieben:
für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator im unendlich tiefen Potentialtopf lassen sich Eigenzustände, sowie Eigenenergien finden. Ich verstehe nun allerdings nicht, welche Energie dieses Teilchen haben soll.

Wenn man die allgemeine Lösung bestimmt, so erhält man (unendlich) viele Eigenzustände. Das Teilchen befindet sich trotzdem nur in einem bestimmten Eigenzustand oder?

Das muss keineswegs so sein.

Das System kann sich in einem Superpositionszustand



der verschiedenen Eigenzustände befinden.

Der Energieerwartungswert lautet dann


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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
maikmo



Anmeldungsdatum: 05.05.2020
Beiträge: 4

Beitrag maikmo Verfasst am: 06. Mai 2020 08:09    Titel: Antworten mit Zitat

Wäre die Standartabweichung des Erwartungswerts für die Energie dann 0 ?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Mai 2020 08:15    Titel: Antworten mit Zitat

In einem allgemein Superpositionszustand? Nein.

Aber das könntest du doch mittels der Definition der Standardabweichung zeigen ;-)

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maikmo



Anmeldungsdatum: 05.05.2020
Beiträge: 4

Beitrag maikmo Verfasst am: 06. Mai 2020 09:18    Titel: Antworten mit Zitat

Eigentlich hatte ich das für ein kleines Beispiel ausgerechnet und hätte auch gesagt, dass es Sinn ergeben würde, dass die Standartabweichung verschwindet. Kannst du mir denn erklären, warum es diese Standartabweichung geben muss? Ich hätte nämlich gedacht, dass wenn sich das Teilchen im superponierten Zustand befindet und man eine ganze Reihe von Teilchen hat, die denselben Zustand aufweisen, bei jeder Messung dieselbe Energie rauskommen müsste.
maikmo



Anmeldungsdatum: 05.05.2020
Beiträge: 4

Beitrag maikmo Verfasst am: 06. Mai 2020 11:50    Titel: Antworten mit Zitat

Mittlerweile habe ich gesehen, dass die Standartabweichung nicht null sein kann.
Trotzdem bleibt meine Frage, was das in diesem Fall physikalisch bedeutet.

Wenn ich zum Beispiel einen Zustand habe, der sich aus dem Grundzustand mit der Energie E0 und einem angeregten Zustand mit der Energie E1 zusammensetzt und ich an mehreren Systemen, die gleich aufgebaut sind, die Energie messe, so erhalte ich dann unterschiedliche Werte.

Oder verstehe ich das falsch? Und wenn nein, warum gibt es denn für dasselbe Teilchen die Möglichkeit, dass es zwei unterschiedliche Energien annehmen kann? Oder soll davon ausgegangen werden, dass das Teilchen von außen Photon aufnehmen bzw. abgeben kann?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Mai 2020 20:41    Titel: Antworten mit Zitat

maikmo hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich zum Beispiel einen Zustand habe, der sich aus dem Grundzustand mit der Energie E0 und einem angeregten Zustand mit der Energie E1 zusammensetzt und ich an mehreren Systemen, die gleich aufgebaut sind, die Energie messe, so erhalte ich dann unterschiedliche Werte.

Ja.

Wenn du an einem Ensemble identisch präparierter Superpositionszustände bzgl. der Eigenbasis zu einer Observablen A genau diese Observable A wiederholt misst, dann erhältst du als einzelne Messergebnisse die jeweiligen Eigenwerte zu A, mit einer Varianz, die genau dem Quadrat der Unschärfe von A in diesem Superpositionszustand entspricht.

Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Eigenwertes in der Messung folgt direkt aus den Absolutquadraten der Entwicklungskoeffizienten des Superpositionszustandes bzgl. der Eigenbasis.

Im o.g. Beispiel gilt für die Wahrscheinlichkeit



maikmo hat Folgendes geschrieben:
... warum gibt es denn für dasselbe Teilchen die Möglichkeit, dass es zwei unterschiedliche Energien annehmen kann?

Nichts und niemand zwingt ein Quantensystem dazu, sich bzgl. einer bestimmten Observablen in einem Eigenzustand zu befinden - außer wenn es entsprechend präpariert wurde. Nun existieren jedoch unendlich viele, im Allgemeinen nicht kommutierende Observablen, d.h. der Zustand eines Quantensystem kann ohnehin nicht bzgl. aller Observablen einem Eigenzustand entsprechen.

Anders formuliert: wenn zwei nicht kommutierende Observablen A und B



vorliegen und du das Quantensystem bzgl. A in einem Eigenzustand präparierst sowie anschließend B misst, dann liegt kein Eigenzustand zu B vor, und somit werden die Messergebnisse entsprechend streuen.

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