Kugel - Periode der harmonischen Schwingung

Anyna · Anmeldungsdatum: 14.01.2020 Beiträge: 2

Meine Frage:
Hallo smile

Ich sitze hier vor folgender Aufgabe: Eine Kugel mit Radius r= 1.5 cm rollt ohne zu rutschen in einer Kugelschale mit Radius R= 22 cm . Wie groß ist die Periode der harmonischen Schwingung für kleine Auslenkungen ? aus der Gleichgewichtslage?

Meine Ideen:
Mein Ansatz war, dass ich

anwende. l ist hierbei 22cm - 1.5cm, da ich die Entfernung zum Schwerpunkt der Kugel suche. g ist dann 9.81. Aber das Programm sagt, meine entsprechende Antwort (0.91s) sei zu ungenau. Kann mir einer von euch helfen, was ich anders machen muss? Spielt die Haftreibung eventuell noch eine Rolle?

Anyna2 · Gast

Okay, das mit der Formel hat nicht geklappt, hier nochmal:

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Nein, für ein exaktes Resultat kann man hier nicht wie bei einem Fadenpendel rechnen. Die Kugel rollt ja (also gibt es natürlich auch eine Haftreibung; ein Reibungskraft als dissipative Kraft gibt es aber nicht), und die Kugel hat ein Trägheitsmoment.

Ich erinnere mich an eine sehr ähnliche Aufgabe, vielleicht hilft Dir dieser Thread schon einmal weiter:

https://www.physikerboard.de/htopic,58624,kugel.html

Anyna · Anmeldungsdatum: 14.01.2020 Beiträge: 2

Vielen Dank erstmal!

Ja okay, das habe ich mir fast gedacht, war aber sehr verwirrt durch eine fehlende Massenangabe.. ich steh echt auf dem Schlauch, wie man das mit der Angabe von nur zwei Radien machen kann?
Der Thread ist tatsächlich sehr ähnlich, aber da hat der Autor ja nicht mal mehr auf die Vorschläge reagiert, und ohne eine Massenangabe kann ich damit (noch) relativ wenig anfangen. Übersehe ich einen zusammenhang?
Die Lagrangefunktion ist offiziell noch nicht bekannt.

(Ich muss dazu auch sagen, dass für mich viele einfache Zusammenhänge noch nicht klar sind; in der Oberstufe kam kein Physikkurs zustande, den ich besuchen konnte, und jetzt in der Uni wird vieles als trivial vorausgesetzt. Das Thema macht mir Spaß, aber es fehlt mir noch an Basis. Daher seid bitte nicht zu streng mit mir Hilfe

)

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Bei einer Kugel, die einen Abhang hinunter rollt, beträgt die "effektive" Erdbeschleunigung nicht g, sondern nur 5/7 g (siehe Link unten). Du musst dir jetzt nur noch überlegen, wie groß die Hangabtriebskraft in einer Kugelschale in Abhängigkeit der Auslenkung ist (für eine harmonische Schwingung muss die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung sein).

Wenn ich mich nicht verrechne habe, kommt man am Ende auf:

Viele Grüße,
Nils

https://www.av.ph.tum.de/Experiment/1000/Beschreibungen/ver1255.php

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

@Nils: Diese Lösung stimmt, wenn ich mich nicht täusche, nur ungefähr. Die Periode hängt schon auch vom Radius der kleinen Kugel ab.

Das Problem ist, wie im verlinkten Thread erwähnt, dass der Drehwinkel der kleinen Kugel im Verhältnis zum Auslenkungswinkel in der Schale sich nicht wie R/r, sondern wie (R/r-1) verhält (man kann sich ja mal den Grenzfall überlegen, wo die Radien fast gleich sind, da wird die Periode sehr klein).

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Stimmt! Der Schwerpunkt der Kugel bewegt sich ja nicht auf einer Schale mit Radius R, sondern auf einer Schale mit Radius R-r.

Ok, dann müsste die Lösung also lauten:

Gruß,
Nils

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

@Anyna: Nur kurz, sonst lieber morgen: um zu einem Ausdruck für die Frequenz bzw. Periode zu kommen, muss man irgendwie eine Bewegungsgleichung aufstellen. Die Erklärung ist vielleicht auch nicht optimal, aber ich würde mal wie im verlinkten Thread den Fall betrachten, wo die Kugel mit Radius r in der Schale um den Winkel

(betrachtet von der Schalenmitte aus) ausgelenkt ist. Dann wirkt auf die Kugel, bezogen auf den Berührungspunkt mit der Schale, das Drehmoment

Dieses Drehmoment muss nun gleich

sein. Dabei ist

das Trägheitsmoment der kleinen Kugel bezogen auf den Berührungspunkt mit der Schale und

der Drehwinkel der kleinen Kugel. Das Minuszeichen daher, weil das Drehmoment rücktreibend ist. Nun muss man noch den Winkel

durch den Winkel

ausdrücken und kommt so auf eine Schwingungsgleichung der Form

@Nils Hoppenstedt: Ja, dieses Ergebnis erhalte ich ebenfalls.

PS: Ja, wahrscheinlich ist das Vorgehen verständlicher, wenn man die Beschleunigung und rücktreibende Kraft der Kugel betrachtet, falls sich der Schwerpunkt der Kugel auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius R-r bewegt.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Ja, das ist interessant: der Schwerpunkt der Kugel bewegt sich wie ein punktförmiges Teilchen gleicher Masse, das sich reibungsfrei in einer Kugelschale mit Radius R' = R - r bewegt, wobei die Schale an einem Ort aufgestellt ist, an dem der Ortsfaktor g' = 5/7 g beträgt. Vielleicht geht eine gute Erklärung so, dass man zuerst separat zeigt, wieso das so ist und dann die Bewegungsgleichung für die Punktmasse aufstellt.

Gruß,
Nils

Edit: Mir ist grad noch eingefallen, dass die Punktmasse sich wiederum so bewegt wie eine Masse, die einem Faden der Länge R' hängt. Das heißt, man muss gar keine Bewegungsgleichung mehr lösen, sondern braucht einfach nur die obigen Größen in die Formel für das Fadenpendel einzusetzen.