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Wirkung des harmonischen Oszillators
 
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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 02. Mai 2013 23:29    Titel: Wirkung des harmonischen Oszillators Antworten mit Zitat

Hallo!

Meine Frage:

Es soll ein 1-dimensionaler harmonischer Oszillator betrachtet und die Wir-
kung durch Lösen der Hamilton-Jacobi-Gleichung berechnet werden.

Mein Ansatz:

Leider geht aus der Aufgabe nicht hervor, ob es sich um ein zeitabhängiges
Problem und/oder ein quantenmechanisches Teilchen handelt. Ich nehme mal
einfach beides an. Nach meinem Skript lautet die Hamilton-Jacobi-Gleichung



Zunächst einmal verwirrt mich die Zeitabhängigkeit der Hamilton-Funktion.
Letztere lautet ja für einen 1-dimensionalen harmonischen Oszillator



Wo stecke ich hier die Zeitabhängigkeit rein? Ins Potential? Eingesetzt folgt



Ist das bisher formal korrekt und bin ich auf dem richtigen Weg?

Grüße!

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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Mai 2013 00:47    Titel: Antworten mit Zitat

Bis auf einen Tippfehler (die ^2 beim S) ja. Jetzt nur noch lösen mit einem geeigneten Ansatz zur Zeitabhängigkeit. Da dies so ziemlich das Standardbeispiel zur Berechnung der Prinzipalfunktion ist, sollte das nicht so schwer zu finden sein.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 03. Mai 2013 20:30    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, du hast Recht, für einen 1-dimensionalen harmonischen Oszillator muss es



mit heißen.

Ich habe mir nun sagen lassen, dass es sich hierbei nicht um ein zeitabhäng-
iges Problem und quantenmechanisches Teilchen handelt, da die Hamilton'
sche charakterisitische Funktion nur für klassische Systeme definiert ist.

Als Lösungsansatz wird wohl wieder - wie sooft - eine e-Funktion dienen?!?

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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Mai 2013 20:51    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn die Hamiltonfunktion keine explizite Zeitabhängigkeit enthält, ist S gegeben durch

Fuer eine zu bestimmende Konstante
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 03. Mai 2013 21:10    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt hat's Klick gemacht Augenzwinkern Wir betrachten ein zeitunabhängiges Problem


mit , also eine zeit-
unabhängige Hamilton-Funktion. Könntest Du mir Deinen Ansatz erklären?

mit konstant.

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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Mai 2013 22:04    Titel: Antworten mit Zitat

Es ist vermutlich nur ein Tippfehler, aber

(Ich hab da am Anfang auch nicht so genau hingeschaut um ehrlich zu sein.)

Der Ansatz ist im wesentlichen einfach Trennung der Variablen. Nimm als Ansatz: S(q,t) = S1(q) + S2(t). Dann einsetzen und alles mit S1 auf eine Seite, alles mit S2 auf die andere. Eine Seite hängt dann nur von q ab, die andere nur von t, also muessen beide konstant sein. Das gibt Dir: S2(t)=-a*t.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 03. Mai 2013 22:51    Titel: Antworten mit Zitat

Mensch, klar, das Quadrat einer partiellen Ableitung ist formal nicht weiter
zu vereinfachen. Also haben wir es nun endlich beisammen, denn es ist



Den Ansatz kann ich nachvollziehen, vielen
Dank. Dann werde ich das mal ausführen, was Du mir hier erläutert hast,
und melde mich dann wieder! Vll kommt's mir dann mit der Konstantenbe-
stimmung ...

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 05. Mai 2013 13:11    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich bin nicht mehr dazu gekommen. Ich mach's jetzt schnell:







mit

Soweit formal korrekt? Und nun muss - da der linke Ausdruck nur
von q_j, und der rechte nur von t abhängt - beide Parameter kon-
stant sein. (EDIT) Nennen wir diese Konstante also einfach mal c.

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 05. Mai 2013 21:07, insgesamt einmal bearbeitet
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 05. Mai 2013 21:06    Titel: Antworten mit Zitat

Also, ich habe nun die zwei folgenden Gleichungen durch Integrieren zu lösen?!






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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2013 08:53    Titel: Antworten mit Zitat





Das Zweite habe ich online berechnen lassen, da bin ich mir nicht sicher. Also ist die Lösung



bzw.


mit , also zweier Konstanten, die man wohl aus Anfangsbedingungen bekommt?

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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Mai 2013 09:38    Titel: Antworten mit Zitat

S ist (offensichtlich) nur bis auf additive Konstanten bestimmt (und zwei machen in der Weise ja schonmal noch weniger Sinn).

Davon abgesehen muss ich nur einmal googlen um z.B. das hier zu finden:
http://www.uni-tuebingen.de/faessler/Mechanik/ThMetotal7.pdf
Ich versteh ja, dass man um Hilfe fragt, wenn man nicht weiter kommt. Ich versteh nicht, dass man nicht vorher mal selber nach einfach zu findender Hilfe sucht....
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2013 17:10    Titel: Antworten mit Zitat

Ich verstehe zwar nicht, wieso Du mich jetzt derart 'anpampst', aber OK.
Natürlich hatte ich, bevor ich den Thread gestartet hatte, Google bemüht
und u. a. auch den von Dir besagten Link gefunden und durchgelesen,
allerdings nicht verstanden. Zudem wollte ich es auch selbst rechnen.

Nichtsdestotrotz habe ich eine allgemeine Vorgehensweise und die De-
monstration selbiger am Beispiel des 1-dimensionalen harmonischen
Oszillators im Nolthing gefunden. Heute Abend werde ich es im Detail
durchgehen und die Lösung gegebenenfalls hier posten. Vielen Dank!

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 06. Mai 2013 23:54    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß nicht, ob das urheberrechtlich OK wäre, wenn ich die Passage aus
dem Nolting-eBook hier reinstellen würde. Also erläute ich nun Schritt für
Schritt das und auch mein Vorgehen bzgl. des 1-dimensionalen HO:

und mit folgt



HJG: und eingesetzt mit dem Ausdruck von oben:



Separationsansatz für : :





Die linke Seite hängt nur von q und die rechte nur von t ab, also sind beide konstant:









Beide Integrationskonstanten sind unbedeutend und können wegbleiben. Zugleich erkannt
man, dass der neue Impuls der Konstanten entspricht.



Also soweit habe ich alles verstanden und ist relativ einfach. Ist damit der Aufgabenteil
"Berechnung der Wirkung S aus der HJG" erledigt? Ja, oder?



Wenn ich nun die Hamilton'sche charakteristische Funktion bei gegebenen Anfangsbeding-
ungen, daraus die jeweils nicht spezifizierte Anfangskoordinate und mit alle dem q(t) be-
rechnen soll, ist damit gemeint, dass ich das Integral in S_1 explizit ausführen soll?

und



Auch die neue Ortskoordinate Q muss konstant sein, also wählen wir Q =: b:









Nun kann man q in p einsetzen und erhält:



Hier müssten nun die Anfangsbedingungen zum Spiel kommen, um die Konstanten a
und b berechnen zu können, oder? Diese dann einsetzen und man hat q(t) und p(t)?

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Mai 2013 09:23    Titel: Antworten mit Zitat

Bitte, ein kurzes Statement wäre wirklich hilfreich :/
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2013 09:38    Titel: Antworten mit Zitat

Nicht jede Kritik ist 'anpampen'.

Aber ganz ehrlich, was möchtest du hören?
Dass der Nolting das richtig gerechnet hat? In jedem Buch oder Skript, das die Hamilton-Jacobi Theorie behandelt und in dem ich gerade nachgeschlagen hab, steht diese Rechnung (Nolting, Greiner, Goldstein, Kuypers,...). Der harmonische Oszillator ist das Standardbeispiel für die Hamilton-Jacobi-Theorie. Möchtest Du, dass ich nachprüfe, ob Du richtig abgeschrieben hast? Langsam wird das wirklich lächerlich...
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Mai 2013 09:51    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe hier nichts abgeschrieben! All die Schritte, die ich hier aufgezeichnet habe,
habe ich selbst gerechnet und nur zur Kontrolle mit dem Nolting verglichen! Proble-
me bereitet mir aber OFFENSICHTLICH noch der zweite Teil der Aufgabe: "Hamilton
sche charakteristische Funktion bei gegebenen Anfangsbedingungen, daraus die je-
weils nicht spezifizierte Anfangskoordinate und mit alle dem q(t) berechnen".

Zudem weiß ich nicht, was an meinen FRAGEN, die ich gestellt habe, lächerlich sein soll.

Wie verfahre ich hier denn nun, ausgehend von meiner ermittelten Wirkung S?
Ich habe die Anfangsbedingungen und .
und bereits die Formeln für hergeleitet:





Es ist doch jetzt wahrscheinlich das Ziel, mit Hilfe der Anfangsbedingungen a
und b herauszufinden, oder?? Diese in q einzusetzen, bringt erst ein Mal nichts.
Daher nehme ich an, diese erst ein Mal in p einsetzen zu müssen??


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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2013 09:57    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich habe hier nichts abgeschrieben! All die Schritte, die ich hier aufgezeichnet habe,
habe ich selbst gerechnet und nur zur Kontrolle mit dem Nolting verglichen!

Und jetzt schreibst Du es hier nochmal hin, damit wir es nochmal abgleichen? Ganz ehrlich, merkst Du es wirklich nicht...

Im Englischen gibt es ein schönes Wort für dieses Verhalten: Neediness.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Mai 2013 10:00    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt reicht's langsam. Ja, von mir aus hätte ich den Weg bis zu S
weglassen können. Aber wie oft muss ich noch betonen, dass ich
beim zweiten Aufgabenteil Probleme habe? Das ist doch wohl of-
fensichtlich! Und Nein, das ist nicht im Nolting angegeben. Also
bitte ich hier um Hilfe, weil ich nicht weiterkommen! Meine Güte!

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jh8979
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Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8302

Beitrag jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2013 10:03    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Jetzt reicht's langsam.

Seh ich ähnlich...
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 07. Mai 2013 10:10    Titel: Antworten mit Zitat

Du ignorierst einfach den Sachverhalt, dass es jetzt um einen Aufgabenteil
geht, den ich nicht irgendwo nachschlagen kann (bzw. dazu nichts finde)
und bei dem ich offensichtlich Probleme habe. Und deine Hilfe beschränkt
sich in dem Punkt nur auf den Verweis, dass ich mir den Aufschrieb bis
zum Punkt der ermittelten Wirkung hätte sparen können. Davon mal ab-
gesehen, hast du vorher schon in keinster Weise geholfen. Es ist schon toll,
andere zu verhöhnen, sich selbst ins Fäustchen zu lachen und für den Größten
zu halten, nur weil man 'nen Link gepostet hat. Ja, Neediness, aber von dir.

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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 08. Mai 2013 03:51    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Du ignorierst einfach den Sachverhalt, dass es jetzt um einen Aufgabenteil
geht, den ich nicht irgendwo nachschlagen kann (bzw. dazu nichts finde)
und bei dem ich offensichtlich Probleme habe. Und deine Hilfe beschränkt
sich in dem Punkt nur auf den Verweis, dass ich mir den Aufschrieb bis
zum Punkt der ermittelten Wirkung hätte sparen können.

1. Ich hab gerade im Nolting (8.Auflage) nachgeschlagen. Es steht drin. Genau das Beispiel des harmonischen Oszillators ist dort ausführlich vorgerechnet, inklusive wie man die Anfangsbedingungen benutzt.
2. Den Aufgaben, nach denen Du fragst, zu urteilen bist Du nicht mehr im ersten Semester. Wenn Du also zwei Funktionen q(t) und p(t) mit Variablen a und b hast, dann solltest Du in der Lage sein aus q(0) und p(0) a und b zu bestimmen.
3. Nicht immer nur rechnen, sondern auch mal nachdenken: Wenn Du einen harmonischen Oszillator hast mit q(0)=0 und p(0)=0, was passiert dann wohl? Die Lösung solltest Du ohne zu Rechnen hinschreiben können.
Zitat:

Davon mal ab-
gesehen, hast du vorher schon in keinster Weise geholfen. Es ist schon toll,
andere zu verhöhnen, sich selbst ins Fäustchen zu lachen und für den Größten
zu halten, nur weil man 'nen Link gepostet hat. Ja, Neediness, aber von dir.

Ich habe Dich ganz sicher nicht verhöhnt und lach mir nicht ins Fäustchen. Den Link hab ich gepostet, weil ich keine Lust hatte das alles hier selber aufzuschreiben, gerade weil es ein Standardbeispiel ist, das man überall finden kann. Und da versteh ich dann auch nicht dass Du das nicht selber finden kannst oder willst. Das zeugt imho von Faulheit und wenig Respekt den Leuten hier gegenüber, die Dir helfen sollen (und wollen).

Und 'Neediness' hast Du offensichtlich nicht verstanden:
Es beschreibt Deine Art eine Rechnung anscheinend nicht selbstständig durchführen zu wollen, sondern bei jedem kleinen Schritt nachzufragen, anstatt einfach mal zu rechnen und gucken was passiert (und was man u.U. korrigieren muss).

Glaub mir: Physik lernt man nicht dadurch, dass man es immer erklärt kriegt, sondern dadurch dass man es selber macht; Versucht einen Weg zu finden, sich verläuft, es falsch macht (wichtig!), neu anfängt, eine Ahnung kriegt wie es gehen könnte, sich überlegt wieso dieser Weg dann wohl richtig sein könnte, korrigiert, sich verbessert... usw... bis man am Ende hoffentlich auf das richtige Ergebnis kommt. Und bevor man andere fragt sollte man diesen Weg zumindest schon ein wenig alleine gegangen sein (und wenn man eine Antwort erhalten hat, versuchen wieder alleine weiterzukommen). Und dieses selber machen sieht man bei Dir so gut wie gar nicht. Es mag sein dass Du es tust, aber man merkt es nicht wirklich, daran was Du fragst, wie Du es fragst und -nicht unwesentlich- wie schnell nach einer Antwort Du wieder fragst...

Das ist nicht böse gemeint, sondern nur ein Tipp wie man Physik lernt (ob Du mir glaubst, dass ich wovon ich rede, oder nicht). Wenn Du meinen Ton verletzend fandest, tut es mit leid. Verletzend ist es ganz sicher nicht gemeint.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 08. Mai 2013 16:00    Titel: Antworten mit Zitat

Spar's Dir, ich habe alles gesagt, was von meiner Seite her zu sagen war. Danke.
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