Arbeit bei geschlossenem Weg im Kraftfeld

Flinz · Anmeldungsdatum: 25.10.2004 Beiträge: 8 Wohnort: München

Hi,
ich weiß nicht wirklich wie ich folgende Aufgabe lösen soll:

Gegeben ist das Kraftfeld:

Berechnen Sie die arbeit die bei einem einmaligen Umlauf auf einer Kreisbahn mit Radius r=1 in der x-y-Ebene (Mittelpunkt im Koord.-Ursprung) an einem Massenpunkt verrichtet wird.

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Ich habe bisher versucht erst einmal die Rotation

auszurechnen, was mir

ergibt, also ist es kein konservatives Kraftfeld, für ein Kreisintegral müsste also gelten

.

Ich habe dann versucht mir ein solches Kreisintegral zu konstruieren, mit

und

wie folgt:

, doch leider ergibt das 0. Was mache ich falsch? Wie mache ichs richtig? Ich denke hier liegt noch ein verständnisfehler meinerseits vor.. Danke im Voraus!

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Du hast das Skalarprodukt mit

vergessen!

Schau dir noch mal genau die Integraldefinition der Arbeit an.

Gruß von Bruce

yeti777 · Anmeldungsdatum: 10.11.2004 Beiträge: 160 Wohnort: Schweiz

Frage an Bruce:

Ist es nicht so, dass Flinz einfach den Transformationssatz für Integrale im |R^n falsch angewendet hat (kartesisch -> polar, Stichwort JACOBI-Determinante)?

Gruss yeti

Gast

Sorry Bruce, vergiss die Frage! Ich habe mich geirrt traurig

. Hier handelt es sich um ein Kurvenintegral im Vektorfeld.

yeti

yeti777 · Anmeldungsdatum: 10.11.2004 Beiträge: 160 Wohnort: Schweiz

Hallo Flinz!

Ich melde mich noch einmal, obwohl ich vorher Mist gebaut habe. War ein bisschen eingerostet. Inzwischen habe ich die Aufgabe gelöst.

Eigentlich kann man es nicht kürzer und bündiger ausdrücken, als Bruce es gemacht hat. Man muss sich die Definition der Arbeit in einem Kraftfeld angucken. Die Arbeit ist definiert als Integral des Skalarprodukts F.ds und dies über den ganzen Weg. Wenn du dann von kartesischen zu polaren Koordinaten übergehst, musst du noch die Transformationsformel für Integrale berücksichtigen. Du erhältst dann: A = Int(F(x(t),y(t)).(dx/dt,dy/dt)dt, t = 0..2*Pi (kann leider nicht mit Latex umgehen).

Deinen Wert für die Rotation konnte ich nicht verifizieren. Ich kenne sie nur als 3-elementiger Vektor. Meine Berechnung von rot(F) ergab [0,0,2], wenn man den Kraftvektor zu [x,y,1] erweitert.

Gruss yeti

Flinz · Anmeldungsdatum: 25.10.2004 Beiträge: 8 Wohnort: München

okay, also wenn ich die ROT als das Kreuzprodukt im

berechne, wie yeti gesagt hat, dann komme ich auch auf

Aber bruce, so ganz kapier ichs noch nicht.. müsste es nicht eigenlich heißen (zu substitution im integral):

und dann dr substituieren mit:

Muss sagen gerade bin ich etwas verwirrt.. unglücklich

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Laß dich nicht verwirren, es war mir einfach zu lästig die array Umgebung
zu verwenden um den Vektor als Spalte zu schreiben, deswegen steht
der Vektor da als Zeile.

Gruß von Bruce

yeti777 · Anmeldungsdatum: 10.11.2004 Beiträge: 160 Wohnort: Schweiz

Hallo Flinz!

1. Definition des Kurvenintegrals in einem Vektorfeld siehe Anhänge 1-3!
2. Integrationsweg ist der Einheitskreis, in Parameterdarstellung x(t) = cos(t), y(t) = sin(t) => dx/dt = (-sin(t),cos(t)) = "x_punkt"
3. Kraftfeld = Vektorfeld f(x(t),y(t)) = (2*cos(t)-sin(t),cos(t)+sin(t))
4. Integrand = Skalarprodukt f.(dx/dt) = -(2*cos(t)-sin(t))*sin(t) + (cos(t)+sin(t))*cos(t). Unter dem Integral muss ein SKALAR sein!
5. Integration entlang des Einheitskreises, also nach t, ergibt: 2*Pi, dh. die geleistete Arbeit auf dem Einheitskreis in diesem Kraftfeld ist 2*Pi.

Ich hoffe, dir damit geholfen zu haben. Wichtig ist, dass du die Definition des Kurvenintegrals in einem Vektorfeld begriffen hast. Nur derjenige Anteil der Kraft, der tangential zur Kurve wirkt, leistet Arbeit.

Gruss yeti

Flinz · Anmeldungsdatum: 25.10.2004 Beiträge: 8 Wohnort: München

Mann yeti, ich könnt dich küssen. hehe. also, könnte ich.
Ist zwar spät und ich bin etwas matsch im kopf dank mechanik, aber ich glaube ich habs endlich verstanden. Wobei das skalar dann zwischen dem tangentialen x(t)_punkt und dem f(x(t)) nur noch die tangentiale komponente von f(x(t)) ist.. smile

Vielen dank an euch beide!

yeti777 · Anmeldungsdatum: 10.11.2004 Beiträge: 160 Wohnort: Schweiz

Guten Morgen, Flinz!

Es freut mich ausserordentlich, dass ich dir helfen konnte. Aber das mit dem Küssen würde ich vielleicht lieber an deine Freundin delegieren Augenzwinkern

.
Mann, 03'16 am, das ist wirklich stark. Kommt da wirklich noch was raus?
Viel Erfolg beim weiteren Studium!

Gruss yeti

Flinz · Anmeldungsdatum: 25.10.2004 Beiträge: 8 Wohnort: München

bin ich mir auch nicht so sicher, bloß ist so viel zu tun in den anderen fächern, dass ich leider sonst nicht zum reinen lernen komme. ausserdem übermorgen klausur.
Aber desto mehr ich lerne desto verwirrter werde ich grad irgendwie.
haut scho hi.
Buschmann

greetings,

Alex

yeti777 · Anmeldungsdatum: 10.11.2004 Beiträge: 160 Wohnort: Schweiz

Hallo Alex,

ja, ich kenne diesen Zustand. Aber du schaffst das schon. Ist dir die Lösung deines Problems (Arbeit im Kraftfeld, Kurvenintegral in einem Vektorfeld) jetzt klar, glasklar Augenzwinkern

? Wichtig ist nicht das Drauflosrechnen mit Rezepten, sondern das Verständnis! Bei Unklarheiten rückfragen. Kurvenintegrale in Vektorfeldern tauchen immer wieder auf (zB. bewegte Ladung in einem elektrischen Feld).

Viel Erfolg bei der Klausur smile

Gruss yeti