Aufgabe: Hydromechanik: Rotation und Druck

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Hallo!

Noch eine Aufgabe zur Rotation bei Flüssigkeiten:

"Ein geschlossenes, zylindrisches Reservoir (Durchmesser: 0,6m) ist komplett mit Wasser gefüllt und dreht sich mit 1200rpm um die vertikale Achse. Bestimme die Druckzunahme an der Oberseite von dem Umfang des Reservoirs." (Lösung: 7,11 bar)

1200rpm sind 125,66 rad/s. Die Höhe der Parabolid habe ich berechnet und wäre 72,43m hoch, aber es kann ja hier bei einem geschlossen und vollständig gefüllten Zylinder keine Parabolide geben, weil Flüssigkeiten sich nicht zusammendrücken lassen. Die Fläche der Oberseite kann ich auch berechnen 0,28274m². Ich müsste erst einmal wissen mit welcher Kraft der Deckel nach oben gedrückt wird und dann daraus den Druck bekommen.

Für Kraft gilt ja: F=m*a=p*A. Die Masse der Parabolid kann ich bestimmen durch das Volumen der Parabolid: m = V*rho = 10,24kg. Die Winkelgeschwindigkeit habe schon durch die Aufgabenstellung: 125,66 rad/s. Aber wie komme ich jetzt an die Beschleunigung a oder an den Druck p?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hm, da habe ich noch nicht so recht verstanden, wie die Aufgabenstellung (insbesondere das "an der Oberseite von dem Umfang des Reservoirs") gemeint ist. Magst du mal den Originaltext der Aufgabe, gerne auch in der Originalsprache, hier posten?

Ich habe bisher die Vermutung, dass die Lösung dieser Aufgabe weniger über ein Paraboloid erfolgt (denn die Dichte des Wassers bleibt ja überall in dem Behälter gleich), sondern eher vielleicht über das Aufintegrieren von Zentrifugalkräften. Oder habt ihr vielleicht in so einem Zusammenhang andere fertigen Formeln oder Berechnungsmethoden gelernt, mit denen das eventuell noch direkter geht?

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Also im Niederländischen heißt es: "Een gesloten cilindrisch reservoir (d=0,6m), volledig gevuld met water, draait rond zijn verticale as aan 1200 toeren/min. Bepaal de druktoename aan de bovenkant van de omtrek van het reservoir"

Andere fertige Formeln haben wir nicht gesehen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Okay, dann soll man, mathematisch ausgedrückt, die Druckzunahme an den Stellen mit r=R und h=H berechnen, wenn R der Radius und H die Höhe des Zylinders ist. Ganz oben dürfte die Gewichtskraft auf die Wassersäule (die auf die unteren Wasserschichten drückt), keine Rolle spielen, so dass die Druckzunahme dort allein von der Zentrifugalkraft herrühren sollte.

Was hältst du von der Idee, die Druckzunahme auf die Mantelfläche des Zylinders durch die radial nach außen wirkende Zentrifugalkraft durch Integrieren zylinderschalenweise aufzusummieren? Also, in kurzer Form angedeutet, so:

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Ich habe nicht ganz verstanden, warum du Kleinbuchstaben mit Großbuchstaben (r=R, h=H) ersetztst. Wie kommst du auf

? Und überhaupt wie kommt man in Gotts Namen auf die Idee/Ansatz eine Integralrechnung zu machen?

Dann habe ich weiter gerechnet:

Und es stimmt smile

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das r (und das h) sind in meiner Schreibweise Variablen, die während meiner Betrachtung jeden Wert zwischen 0 und R (bzw. 0 und H) annahmen können, während das R (Radius) und das H (Höhe) einfach die festen Maße des rotierenden Behälters sind.

In meinem Integral betrachte ich Hohlzylinder aus Wasser mit Radius r innerhalb des rotierenden Behälters.

Die Dicke der Wand eines solchen Hohlzylinders ist

, die Mantelfläche eines solchen Hohlzylinders ist

, das Volumen eines solchen Hohlzylinders ist

, die Masse des Wassers in der Wand eines solchen Hohlzylinders ist

, auf jeden dieser Hohlzylinder wirkt eine Zentrifugalkraft

nach außen, und deshalb ist der Druck an der äußeren Wand des Hohlzylinders um

größer als an der inneren Wand des Hohlzylinders.

Um den Druck, der durch die Zentrifugalkraft ganz außen am Behälter entsteht, auszurechnen, kann man also einfach alle diese Druckdifferenzen von ganz innen bis ganz außen aufsummieren, das macht das Integral, das ich da hingeschrieben habe.