Thomson Problem

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Hallo zusammen,

auf der Suche nach der Lösung eines mathematischen Problems, bin ich auf das Thomson Problem gestoßen. Kann mir da jemand Deutsche Literatur zu nennen /empfehlen?

Mein Hauptanliegen ist zu wissen, wenn man die Punkte auf der Kugeloberfläche, z.B. zu Dreiecken /Fünfecken etc, verbindet, welche Frequenz (Anzahl der versch. kongruenten Flächen) man in Abhängigkeit von der Punktzahl n erhält.

Grundproblem ist dieser Thread im Matheboard.

Hier noch ein bild dazu:

http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson/gif/932.gif[/img]

Danke,
tigerbine

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Zu den mathematischen Grundlagen der Parkettierung von Kugeloberflächen dürfte folgender Link für dich interessant sein (besonders Kapitel 5):

http://e-collection.ethbib.ethz.ch/ecol-pool/incoll/incoll_822.pdf

Handelt es sich eher um eine mathematische oder eher um eine anwendungsorientierte Aufgabe? Ich vermute, davon könnte abhängen, ob eine gute Lösung eher a) oder eher b) sein soll:

Der Tankerkonstrukteur sagt dir den Krümmungsradius der Kugel, der Isolierplattenhersteller sagt dir die maximal mögliche Größe der Platten, und du findest dazu eine nette Parkettierung der Kugeloberfläche, die

a) mit möglichst wenig verschiedenen Formen auskommt (unterschiedlich große Teile derselben Flächenform zählen als dieselbe Form), ist das mathematisch gesehen eine Lösung mit minimaler Frequenz der Parkettierung?

b) mit möglichst wenig verschiedenen Teilen auskommt (denn auch unterschiedlich große, zueinander kongruente Teile bedeuten zusätzlichen Produktionsaufwand)

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Für die Anpassbarkeit an verschiedene Kugelradien sehe ich drei Möglichkeiten, von denen die erste ausscheidet:

1) Dieselben Teile für verschiedenste Kugelradien zu verwenden wird prinzipiell nicht möglich sein, denn mit dem Kugelradius ändern sich ja auch unter anderem die Winkel an den Ecken der Teile.

2) Kleinere Kugelradien lassen sich mit derselben Parkettierung parkettieren, wenn man die Teile entsprechend proportional kleiner fertigt. Vorteil: man kann dieselbe Parkettierung verwenden. Nachteil: Die Fertigungsfläche der Maschine wird um so schlechter ausgenutzt, je kleiner das Teil wird, höhere Fertigungskosten.

3) Man sucht sich für jedes Verhältnis von Kugelradius zu Teilgröße eine neue Parkettierung. Vorteil: Optimale Ausnutzung der Ferigungsfläche auf dem Tisch der Fräsmaschine. Nachteil: Aufwändiger Prozess, eine geeignete neue Parkettierung zu finden, die die Nebenbedingungen der Produktion gut genug erfüllt, höhere Entwicklungskosten und höherer Aufwand für die jeweilige Umprogrammierung der Fräsmaschinen.

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Vielen Dank für die Antwort. Das PDF werde ich mir mal durchlesen.

Es handelt sich um eine anwendungsorientierte Aufgabe. Was uns dann zu Punkt b) führt.

Das mit den drei Möglichkeiten hast Du nett gesagt. Bin "froh", dass meine Annahme- dass 1 nicht möglich ist - von Dir bestätigt wird.

2 und 3 decken sich auch mit meinen Überlegungen. Ich werde mir jetzt gleich mal die Maschinen ansehen, um "was ist besser" und "lohnt sich das überhaupt" besser beurteilen zu können.

Danke für deine Hilfe Wink