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shadow07
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 shadow07 Verfasst am: 22. Apr 2007 09:44 Titel: Energiesatz der Mechanik herleiten |
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Hallo,
ich muss folgende Aufgabe lösen:
Gegeben ist die eindimensionale Bewegungsgleichung:  . Daraus soll gezeigt werden, dass T + V = const. ist. Die Gleichung soll zuerst mit  multipliziert und anschließend integriert werden.
Somit haben wir: 
Nur was soll ich jetzt hier integrieren und wie kann ich die Gleichung umschreiben? Wir haben die einfache Ableitung vom Ort und die zweifache Ableitung vom Ort  enthalten. Was sagt mir das jetzt? |
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para
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| para Verfasst am: 22. Apr 2007 11:06 Titel: |
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Was hast du dir denn selbst schon dazu überlegt? Vielleicht hilft dir ja schon dieser Tipp: Entscheidend ist hier, dass das Produkt .... wiederum als eine Ableitung geschrieben werden kann (Kettenregel "rückwärts"), nämlich als:Beziehungsweise hier eben:.. was ja schonmal verdächtig nach kinetischer Energie aussieht. ^^
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shadow07
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| shadow07 Verfasst am: 22. Apr 2007 11:12 Titel: |
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| para hat Folgendes geschrieben: | | Entscheidend ist hier, dass das Produkt .... wiederum als eine Ableitung geschrieben werden kann (Kettenregel "rückwärts"), nämlich als: |
Genau auf diesen Schritt wäre ich nie gekommen, weil mit die Überlegung dazu fehlt. ist doch die Geschwindigkeit und die Beschleunigung, oder? Vielleicht könntest du diesen Schritt ausführlich darstellen  Ich sehe hier auch keine Kettenregel, höchstens eine Produktregel 
Ich hätte es jetzt so ausgeschrieben: )
| para hat Folgendes geschrieben: | | Beziehungsweise hier eben:.. was ja schonmal verdächtig nach kinetischer Energie aussieht. ^^ |
Die kinetische Energie hätte ich gesehen Wie man allerdings dorthin kommt ist mir ein Rätsel. |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 22. Apr 2007 11:50 Titel: |
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| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | Genau auf diesen Schritt wäre ich nie gekommen, weil mit die Überlegung dazu fehlt. ist doch die Geschwindigkeit und die Beschleunigung, oder? |
Richtig, die erste und zweite zeitliche Ableitung des Orts sind Geschwindigkeit und Beschleunigung:
| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | Vielleicht könntest du diesen Schritt ausführlich darstellen Ich sehe hier auch keine Kettenregel, höchstens eine Produktregel |
Tut mir Leid, mein Fehler - natürlich ist es die Produktregel. Viel gibt es da eigentlich nicht zu erklären, man muss diesen Schritt eben einmal gesehen haben, und kann ihn dann natürlich noch verifizieren:
Jetzt etwas klarer, wie das mit der Umformung funktioniert?
| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | Die kinetische Energie hätte ich gesehen Wie man allerdings dorthin kommt ist mir ein Rätsel. |
Eigentlich war das nicht ganz korrekt ausgedrückt - es handelt sich dabei natürlich nicht direkt um die kinetische Energie, sondern es steht noch eine Ableitung zuviel drin. Was ich sagen wollte ist, dass man die kinetische Energie quasi schon "durchsieht", also die Richtung schonmal stimmt. ^^
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shadow07
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| shadow07 Verfasst am: 22. Apr 2007 12:02 Titel: |
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Auf den Trick mit 1/2 als ersten Schritt muss man aber erst mal kommen. Schon da hätte ich Probleme gehabt. Wenn man weis was rauskommt, dann geht es.
Mein Problem war halt wie du auf die 1/2 gekommen bist, die Rechnung an sich ist sonst klar.
Die rechte Seite kann ich schreiben als )
Als haben wir: ) bzw. )
Was soll ich da jetzt integrieren?
 = -\int \frac{m}{2} \cdot \dot{x}^2 \, \dd x) |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 22. Apr 2007 17:14 Titel: |
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| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | Die rechte Seite kann ich schreiben als |
Was soll bei der Aufgabe eigentlich konkret für V gelten? Ich bin mal davon ausgegangen dass es sich um ein zeitunabhängiges Potential handelt, also V nur vom Ort x und sonst keinen weiteren Größen abhängt. Dann wäre der Ausdruck den du hingeschrieben hast problematisch (da gleich Null).
Wie bist du auf den gekommen?
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shadow07
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| shadow07 Verfasst am: 22. Apr 2007 18:06 Titel: |
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Ne, V ist die potentielle Energie |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 22. Apr 2007 21:00 Titel: |
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| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | | Die rechte Seite kann ich schreiben als |
Okay .. im Ursprungsproblem wurde V ja auch nach dem Ort abgeleitet, womit man erst einmal auf die wirkende Kraft kam. Ich vermute du hast mit der "rechten Seite" schon die mit x-Punkt multiplizierte Version gemeint, oder? Weil dann würde ich dir zustimmen. ^^ (Oben dachte ich du beziehst dich noch auf die Ausgangsgleichung.)
| shadow07 hat Folgendes geschrieben: | Als haben wir: bzw.
Was soll ich da jetzt integrieren? |
Na ja .. im Prinzip hast du ja von der linken zur rechten Seite des "bzw." schon integriert, indem du einfach die Ableitungen auf beiden Seiten fallengelassen hast. Das ist nicht ganz sauber gemacht aber trifft schon den Kern der Sache.
Bei solchen Integrationen kommen aber natürlich noch Integrationskonstanten dazu, die man in einer zusammenfassen kann. Die nennt man dann z.B. mal (nicht ganz ohne Hintergedanken) E. Also in etwa so:.. ja, damit steht's ja schon da. Und etwas sauberer aufgeschrieben zählt's dann sicher auch als Herleitung. ;-)
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