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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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 Gargy Verfasst am: 13. Apr 2007 10:13 Titel: Schwingung eines Uhrpendels |
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe, die eigentlich in den Bereich Wärme gehört, aber ich wollte nur mal eine Frage zum Verständnis stellen (und das gehört wohl eher in die Mechanik).
Bei einem stabförmigen Messingpendel beträgt bei einer Temperatur  die Zeit für eine Schwingung  . Um welchen Betrag ändert sich diese Zeit, wenn die Temperatur auf  ansteigt?
Meine Frage ist jetzt: Was versteht man unter "eine Schwingung"? Ist das die Strecke von einer Auslenkung zur nächsten (also eine halbe Periode)? Oder Hin- und Rückweg?
Da es um ein Uhrenpendel geht, hätte ich ganz spontan gesagt, dass es nur die halbe Periode ist, aber irgendwie kam ich ins Zweifeln, weil da nix genaues in der Aufgabe steht...
Was meint ihr?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 13. Apr 2007 10:25 Titel: |
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Hallo!
Ich würde unter "einer Schwingung" eher Hin- plus Rückweg verstehen. Allerdings muss ich Dir Recht geben: Bei einem Sekundenpendel ist es normalerweise nur eine halbe Periode, so weit ich weiß, also wäre dort eine Schwingung = eine Periode = 2s nach meiner Interpretation.
Aber auf der anderen Seite: Ist es nicht eigentlich egal? Die Schwingungsdauer wird doch auf jeden Fall um einen bestimmten Faktor länge. Ob mit T1 dann eine ganze Periode oder eine halbe gemeint ist, ändert dann ja nichts an T2, die dann ja genau so für eine halbe oder eine ganze Periode angegeben werden muss, oder?
Gruß
Marco |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 13. Apr 2007 11:37 Titel: |
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Naja, doch, das macht einen Unterschied, wenn man ausrechnet, um wieviel sich der Stab ausdehnt. Die Schwingungsdauer ist ja dann eine andere und bei einer ganzen Periode ist der ganze Term um  verändert.
(Wenn ich die Länge haben will, muss ich die Schwingungsdauerformel quadrieren, weil l unter der Wurzel steht. Die 2 vor der Wurzel wird dann zur 4. In dem genannten Beipiel macht es eine ganze Kommastelle aus - immerhin also eine Zehnerpotenz.)
Aber ich glaube, ich nehme einfach die halbe Periode. Wenn's falsch ist, habe ich was gelernt 
LG |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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| dermarkus Verfasst am: 13. Apr 2007 12:48 Titel: |
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Ich verstehe wie Marco unter der "Zeit für eine Schwingung T" eine volle Schwingungsperiode, also einmal hin und zurück.
Und ich stimme dir zu, Gargy, dass die Schwingungsdauer nicht linear von der Pendellänge abnimmt, so dass sowohl der Differenzbetrag als auch übrigens die prozentuale Veränderung davon abhängt, ob man T oder T/2 betrachtet.
Ich vermute, die Masse und das Trägheitsmoment des Stabes soll man gegenüber dem Pendelgewicht, das unten dranhängt, vernachlässigen? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 13. Apr 2007 13:30 Titel: |
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Hallo!
Irgendwie verstehe ich das jetzt nicht ganz.
Es ist zwar richtig, dass die Schwingungsdauer proportional zur Wurzel der Länge ist. Aber die Frage ist ja nach der zweiten Schwingungsdauer.
Angenommen, die Ausdehnung ist so, dass der Stab bei der Temperaturänderung um einen bestimmten Faktor c(t) (t soll mal die Temperatur sein) länger wird, dann ist doch }) und dabei ist es egal, ob ich jeweils die halbe oder die ganze Periode genommen habe, oder? Hab ich da jetzt was durcheinander gebracht? 
Gruß
Marco |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 13. Apr 2007 13:44 Titel: |
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Du hast recht, Marco  , dieser Teil
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | [dass] auch übrigens die prozentuale Veränderung davon abhängt, ob man T oder T/2 betrachtet.
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meines Beitrags war falsch.
In der Aufgabenstellung ist nach dem Betrag der Änderung von T gefragt. Dieses  wird doppelt so groß, wenn man statt "einmal hinschwingen" die volle Zeit für "einmal hin und her schwingen" betrachtet.
@Gargy: Wie kommt du da auf Ergebnisse, die sich um eine ganze Größenordnung voneinander unterscheiden? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 13. Apr 2007 14:19 Titel: |
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Hallo!
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | | In der Aufgabenstellung ist nach dem Betrag der Änderung von T gefragt. Dieses wird doppelt so groß, wenn man statt "einmal hinschwingen" die volle Zeit für "einmal hin und her schwingen" betrachtet. |
Irgendwie verstehe ich es immer noch nicht ganz... 
Ich habe eine Zeit T1 gegeben, die entweder für eine halbe oder eine ganze Schwingungsperiode steht. Die Periode (genauso auch die halbe natürlich) ändert sich bei der Temperaturänderung um den Faktor  . Entweder steht T1 also für die Zeit einer halben Schwingung, dann wäre die Pediode 2s und die neue Periode  . Die neue halbe Periode, nach der dann gefragt wäre, wäre dann  .
Wenn aber eine ganze Periode mit T1 gemeint ist, sie also 1s dauert, dann ist eben nach der neuen ganzen Periode gefragt, die wieder  ist.
In beiden Fällen ist doch dann die Differenz: \cdot 1\text{s}) .
Oder verstehe ich irgendwie die Aufgabe falsch? Habe ich vielleicht was überlesen? Ich muss mir den Thread nochmal komplett anschauen, glaube ich...
Vielleicht sollten wir diese Diskussion auch besser erst nach hinten schieben. Das ist ja nicht der Kern der Frage, und darüber zu diskutieren lenkt davon vielleicht ab und verwirrt. Wir könnten das ja noch klären, wenn die Aufgabe an sich gelöst ist. Das wäre vielleicht besser, oder?
Gruß
Marco |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 13. Apr 2007 21:16 Titel: |
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Ui, stimmt, danke Marco, da habe ich beim Lesen der Aufgabenstellung nicht gut genug aufgepasst!
Der Zahlenwert für  ist ja in der Aufgabenstellung vorgegeben, also spielt es für das Ergebnis keine Rolle, ob man das als ganze oder halbe Periodendauer interpretiert |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
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| Gargy Verfasst am: 14. Apr 2007 15:15 Titel: |
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Hm, ich hätte wohl besser die ganze Aufgabe reinstellen sollen.
Es ist so: Ich habe das Material (also auch den Ausdehnungskoeffizienten) und die Schwingungsdauer einer Schwingung bei der Anfangstemperatur.
Ich habe aber nicht die Ausgangslänge!
So, mit Berücksichtigung des Trägheitsmoments habe ich für die Schwingungsdauer folgende Formel erhalten:
wobei l die Länge und g eben g ist.
So, wenn ich jetzt die Länge berechnen will, weil ich ja die Schwingungsdauer habe, dann geht das ja so:
Für die halbe Periode hätte ich aber nur:
Na ja, das gibt dann schon komplett andere Werte für die Ausdehnung des Materials und damit dann für die 2. Schwingungsdauer nach dem Erwärmen. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2007 15:22 Titel: |
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Hallo!
Natürlich bekommst Du andere Werte für die Länge. Die Frage ist nur: musst Du diese überhaupt konkret kennen? Die Aufgabe, die Du ursprünglich reingestellt hast, fragt nur nach der Zeitdifferenz und dann ist die konkrete Länge egal und auch, ob mit den Zeiten eine ganze oder eine halbe Periode gemeint ist. Dann ist nur wichtig, dass sowohl die Dauer einer ganzen Periode, als auch einer halben Periode gerade proportional zu der Wurzel der Länge ist, egal welche konstanten Vorfaktoren und auch egal, ob da noch ein konstantes g bzw. die Wurzel draus irgendwo steht. Dann musst Du nur wissen, durch die Längenausdehnung wird die Länge des Stabs um einen bestimmten Faktor länge und damit die Schwingungsdauer um den Faktor länger, wobei c gerade dieser bestimmte Faktor sein soll, den Du aus dem Längenausdehnungs-Koeffizienten berechnen kannst.
Wenn Du wirklich konkret die Länge des Stabes wissen musst, dann hilft Dir das natürlich nicht weiter.
Gruß
Marco |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
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| Gargy Verfasst am: 14. Apr 2007 15:24 Titel: |
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Hier mal noch ein paar Werte:
Für die halbe Periode beträgt 
und für die ganze Schwingung 
Für die volle Schwingung ändert sich der Wert erst eine Kommastelle später. |
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2007 15:30 Titel: |
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Hallo!
Angenommen, der Stab hat bei 10°C die Länge  . Wie lang ist er dann bei 25°C?
Gruß
Marco |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
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| Gargy Verfasst am: 14. Apr 2007 15:36 Titel: |
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Für die halbe Periode ist  und 
Für die ganze Periode ist  und 
Oder als Formel:
(\Delta T))) |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2007 15:43 Titel: |
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Hallo!
Und wie ist jeweils das Verhältnis
 ?
Bitte nicht die (zu grob) gerundeten Zahlenwerte verwenden, sondern wirklich Deine Rechnung. Es sollte der selbe Faktor (also das selbe Verhältnis) in beiden Fällen raus kommen. Der Faktor sollte nur von der Temperaturdifferenz und dem Längenausdehnungskoeffizienten abhängen. Wie sieht dieser Faktor aus?
Gruß
Marco
//Edit: Genau, also ist dieser Faktor, den ich c genannt habe:
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2007 15:47 Titel: |
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So, wir haben also ein festes  und eine feste Temperaturdifferenz  gegeben. Deshalb ist der von mir eingeführte Faktor c auch konstant.
Sind wir uns einig, dass die Schwingungsdauer, egal ob halbe oder ganze, diese Proportionalität hat:
\cdot l_0}) ?
Gruß
Marco |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
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| Gargy Verfasst am: 14. Apr 2007 15:50 Titel: |
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Also für halbe: 1,00028
und für ganze: 1,00026
Aber selbst wenn ich jetzt sage, dass ist genau genug, um zu sagen, es ist doch nur ein Faktor... was soll ich denn jetzt hinschreiben? Ich kann ja nicht sagen, naja, wenn auf Ihrem Lösungszettel jetzt was anderes steht, dann ist das nur mit einem Faktor verschieden, oder?
Die Zeitdifferenz ist nunmal unterschiedlich. Für halbe Periode ist  und für die ganze 
(ich habe auch nicht gerundet oben, denn es ist nur die Zeit geben und 1 kann ich nicht mehr runden )
//edit: Ja, das stimmt wohl mit der Proportionalität, aber was soll ich denn hinschrieben? Ich kann ja schlecht sagen, dass es egal ist  |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2007 15:56 Titel: |
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Nein, der Faktor ist ganz genau der selbe!
Du hast immer, egal ob halbe oder ganze Schwingung, das hier:
Alles andere sind Rundungsfehler. Die Differenz ist dann immer:
\cdot T_1)
Gruß
Marco |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 14. Apr 2007 16:00 Titel: |
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Aha, na gut, ich wüsste zwar nicht, wo ich gerundet habe, aber angenommen, du hast recht - was mach ich jetzt? Jetzt ist es egal, ob ich die ganze oder die halbe Periode nehme. Und weiter?
Ich weiß nicht, was ich falsch mache, aber mein Taschenrechner sagt mir immer noch, dass die Differenzen unterschiedlich sind. Das mit der Proportionalität leuchtet ja vielleicht noch ein, aber... ich steh grad echt auf dem Schlauch. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2007 16:06 Titel: |
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Hallo!
OK, also ich hab hier gefunden, dass der Längenausdehnungekoeffizient für Messing:
ist. Dann wäre der Faktor also:
1,000135
Damit ist die Zeitdifferenz in beiden Fällen 1,35*10^(-4)s
Gruß
Marco |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
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| Gargy Verfasst am: 14. Apr 2007 16:10 Titel: |
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Okay, ich guck mir das jetzt alles nochmal von vorne an. |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
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| Gargy Verfasst am: 14. Apr 2007 16:21 Titel: |
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Ich denke, du hast recht. Aber von allein wäre niemals auf so einen Gedankengang gekommen. Wenn ich jetzt aber einfach mit der halben Periode rechnen würde, könnte ich jederzeit begründen, dass es am Ergebnis nichts ändert. Es ist ja tatsächlich nirgendwo nach der Länge gefragt.
Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.  |
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as_string
Moderator
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2007 16:23 Titel: |
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Hallo!
Da hattest ja anscheinend eine Rechenfehler (oder doch Rundungsfehler?) bei der ganzen Periode. Hast Du den schon finden können?
Gruß
Marco |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 14. Apr 2007 18:03 Titel: |
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Nein, leider nicht. |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 14. Apr 2007 18:34 Titel: |
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Alles Quatsch! Wer rechnen kann, ist klar im Vorteil.
Beide Verhältnisse sind 1,000285. Hui, das war aber schwierig!
Was ich aber noch nicht gerechnet habe, ist der 2. Teil der Aufgabe:
Um wieviel würde eine Uhr mit einem derartigen Pendel nachgehen im Verlaufe eines Tages? (gemeint ist das erwärmte Pendel, denke ich mal)
Mein Ansatz war ganz einfach:
Wenn T=1s, dann vollführt das Pendel 86400 Schwingungen am Tag.
 wollte ich über die Länge nach Ausdehnung berechnen, aber das müsste doch auch nach deiner Formel für die Temperaturdifferenz klappen, nicht?
Damit wäre
Und dann einfach sagen T=86400s
 (rund)
D.h. das Pendel würde 12s nachgehen!? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2007 19:02 Titel: |
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Hallo!
Ich verstehe es etwas anders: Um einen Tag zu bestimmen zählst Du ja diese 24·60·60 Schwingungen, weil Du ja eigentlich davon ausgehst, dass eine Schwingung genau eine Sekunde dauert. Pro Sekunde geht die Uhr aber 135µs nach. Also geht sie nach dieser Anzahl von Schwingungen um 24·60·60·135µs = 11,66s nach.
Vielleicht ist Deine Betrachtungsweise auch richtiger... Eigentlich entspricht sie eher der Aufgabe. Ich komme dann aber auch drauf, dass eine solche Uhr 11,66s weniger anzeigen würde. Dass diese beiden Zahlenwerte jetzt gleich sind, ist aber wirklich nur ein Rundungsfehler. Das erste bedeutet, dass nach 24·60·60 Schwingungen 11,66s mehr als nur ein Tag vergangen sind und das andere bedeutet, dass die Uhr 11,66s weniger als 24h anzeigen würde. Naja, nach der Aufgabenstellung ist wohl eher letzteres gemeint, wenn ich mir das nochmal genau überlege...
Das mit Deinem Faktor habe ich immer noch nicht verstanden. Es kommt doch zweimal der selbe raus, da sind wir uns ja inzwischen einig. Aber wieso hast Du irgendwas mit 2,8·10^-4 hinter dem Komma, was ja in etwa gerade das Doppelte des Wertes von 135·10^-6 ist, den ich raus habe? Irgendwas kann da immer noch nicht so ganz stimmen, oder?
Gruß
Marco |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 15. Apr 2007 10:42 Titel: |
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Hihi, ja, ich habe, glaube ich, einen anderen Ausdehnungskoeffizienten gegeben. Das hätte ich vielleicht sagen sollen. So ganz kann ich mir das aber trotzdem nicht erklären, denn auf den genannten Wert komme ich, wenn ich End- und Ausgangslänge ins Verhältnis setze. Dein Wert ist genau meine Zeitdifferenz.
Ich komme übrigens auch auf 11,6s (es sind ja nicht genau 86388 Schwingungen), habe den Wert einfach auf die volle Sekunde gerundet. Hm, ist wahrscheinlich nicht sehr wissenschaftlich von mir.
Meinst du, es ist nur ein Rundungsfehler, dass deine beiden Werte übereinstimmen? Eine Abweichung auf der x-ten Kommastelle dürfte doch eigentlich nicht wichtig sein, denn so genau können wir hier eh nicht rechnen, oder? Ich denke, ob ich jetzt sage, dass nach 24h noch 12 Schwingungen fehlen oder dass nach 86400 Schwingungen 12s mehr vergangen sind (wobei ja eine Schwingung 1s dauert), liefert mir das gleiche Resultat, denn die Differenz zu 24h ist jeweils rund 12. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
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| as_string Verfasst am: 15. Apr 2007 12:26 Titel: |
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| Gargy hat Folgendes geschrieben: | | Hihi, ja, ich habe, glaube ich, einen anderen Ausdehnungskoeffizienten gegeben. Das hätte ich vielleicht sagen sollen. So ganz kann ich mir das aber trotzdem nicht erklären, denn auf den genannten Wert komme ich, wenn ich End- und Ausgangslänge ins Verhältnis setze. Dein Wert ist genau meine Zeitdifferenz. |
Keine Ahnung... Kann natürlich auch sein, dass ich mich irgendwo verrechnet habe! Ich finde: Hauptsache Du hast die Zusammenhänge verstanden. Ob die Zahlenwerte komplett richtig sind, ist dann erstmal nicht ganz so wichtig.
| Gargy hat Folgendes geschrieben: | | Ich komme übrigens auch auf 11,6s (es sind ja nicht genau 86388 Schwingungen), habe den Wert einfach auf die volle Sekunde gerundet. Hm, ist wahrscheinlich nicht sehr wissenschaftlich von mir. |
Doch, das ist perfekt "wissenschaftlich". So genau geht eine Pendeluhr so wie so nicht.
| Gargy hat Folgendes geschrieben: | | Meinst du, es ist nur ein Rundungsfehler, dass deine beiden Werte übereinstimmen? Eine Abweichung auf der x-ten Kommastelle dürfte doch eigentlich nicht wichtig sein, denn so genau können wir hier eh nicht rechnen, oder? Ich denke, ob ich jetzt sage, dass nach 24h noch 12 Schwingungen fehlen oder dass nach 86400 Schwingungen 12s mehr vergangen sind (wobei ja eine Schwingung 1s dauert), liefert mir das gleiche Resultat, denn die Differenz zu 24h ist jeweils rund 12. |
Ja, die Übereinstimmung müsste ein Rundungsfehler sein, glaube ich. Ich weiß natürlich nicht, wie die Aufgabe korrigiert wird, aber wenn ich es wäre, würde ich auf jeden Fall beide Wege für richtig bewerten. Da letztendlich so wie so das selbe Ergebnis (wenn auch nur das gerundete) raus kommt, ist es auch Wurscht, finde ich. Bei dem Aufgabenteil geht es mMn darum zu zeigen, dass auch eine so kleine Abweichung pro Sekunde und eine so kleine Wärmeänderung schon zu recht deutlichen Abweichungen nach nur einem Tag führen. Da ist ja jede billige Quarz-Uhr vom Discounter für 3,99 € am Handgelenk deutlich genauer, als diese riesige und teure Standuhr! Von einer Atomuhr natürlich ganz zu schweigen. Allerdings ist so ein Ding dann auch wieder größer und teurer.
Gruß
Marco |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 16. Apr 2007 18:26 Titel: |
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