Potential / Kraft

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Hallöchen nach langer Zeit mal wieder ,

sitz gerade an einer Aufgabe, die ich eigentlich hätte rechnen koennen sollen müssen , aber irgendwie ist das bei mir so lang her, dass das Zeug alles so halb futsch ist..

und zwar war eine Kraft gegeben

F(x) =-2aU sinh(ax) / ((cosh(ax)^3)

Nun sollte man
a) die potentielle Energie bestimmen
b) die möglichen Bewegungen in Abhängigkeit der Gesamtenergie E diskutieren
c) die Position x(t) bestimmen
d) x(t) für sehr kleine Energien vereinfachen

hm, zu a : bei Wikipedia nachgeschaut, Funktion sech gefunden ( von der ich noch nie etwas gehört hatte )

Potential ergibt bei mir USech(xa)^2 mit der angehängten Zeichnung ( richtig?)

was ich bei den anderen machen soll ist mir noch nicht so ganz klar, wie ist das mit der Gesamtenergie gemeint ? das Kraftfeld scheint mir so zu sein, dass es von der einen seite wie jeweils von der anderen seite jeweils abstößt / anzieht bis zu einem peak , von wo es wieder abfällt ? und wie bestimmt ich x(t) ... energiesatz wäre d_ekin = d_epot und das dann irgendwie integrieren ?

liebe grüße

basti

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Kann es sein, dass dir irgendwo noch ein Minuszeichen abhanden gekommen ist? Wenn ich mich nicht vertan habe, komme ich da auf eine Potentialmulde statt auf einen Potentialberg.

Fällt es dir damit leichter, in b) zu betrachten, welche Bewegungen bei welchen Energien erfolgen, in c) eine Gleichung für x(t) zu finden (wie / mit welcher Methode würdest du das standardmäßig angehen, die Bewegung innerhalb eines gegebenen Potentials zu beschreiben?) und in d) eine Lösung für x(t) für kleine Energien durch Näherung anzugeben?

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Hey Markus, erstmal zum Integral

Hmh, bist du sicher, dass da ein Minus fehlt ?

Sinh[x] / ((Cosh[x]^3) ) integriert ist doch ( -Sech[x]^2 ) / 2 , wenn ich mich nicht vertan hab ?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

ehm ja, das hatte ich in der Tat vergessen, danke sehr ! ich werde jetzt über den rest nochmal nachdenken müssen

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

b)
So ich hab mir jetzt mal Potential und Kraft plotten lassen, weiß aber trotzdem noch nicht so genau wie es jetzt weitergeht,( nimmt man für einen Massepunkt eigentlich immer an, dass die Masse 1 ist ? ) das geringste Potential ist also im Nullpunkt, da ist die Kraft 0 und daher auch die Beschleunigung. Für negative x steigt die zum Nullpunkt wirkende Kraft erst an bis zu einem Peak und fällt von da wieder ab, das ganze ähnlich auf der positiven Seite, da wirkt dann die Kraft zurück zum Nullpunkt. Das ganze schaut so ein bisschen so ähnlich aus wie das parabolische Potential eines Federpendels bis auf die Peaks, handelt sich das dann hier auch um eine Schwingung ? Aber das alles ist doch noch keine Diskussion der Bewegungungen oder ?

c) Naja ich weiß nicht mehr genau , potentielle Energie und kinetische Energie gleichsetzen nach v auflösen und integrieren , aber ich denk jetzt, dass die Idee falsch ist.

Was ist das überhaupt für ein Kraftfeld, gibts sowas in Echt ? Und nur so eine Vermutung, kann man dann vielleicht wenn man / ich soweit bin, dann x(t) durch eine einfache Schwingung vereinfachen?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Erstmal zu b) : Was für eine Bewegung wird denn ein Teilchen machen, dessen Energie nicht groß genug ist, damit es aus dieser Potentialmulde entkommen kann? Und was für eine Bewegung macht ein Teilchen, dessen Energie größer als Null ist, und das zum Beispiel von links ins Bild kommt?

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Naja, es wird in der Potentialmulde hin und her schwingen. Und das Teilchen das von links kommt, wird doch erstmal zum Nullpunkt hin beschleunigt, und die Schwinungsamplitude wird größer sein ?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Hm, deine Frage war

<<Und was für eine Bewegung macht ein Teilchen, dessen Energie größer als <<Null ist, und das zum Beispiel von links ins Bild kommt?

Naja ich hatte mir jetzt vorgestellt, dass du damit meinst, dass eine Murmel einfach mit ein bisschen Speed in eine Suppenschüssel rollt, in der es ohne die Zusätzliche Energie vorsichhingeschwungen wäre, also würde das X-Murmel-Teilchen, dann die Mulde überwinden ?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Genau

Es verschwindet am Ende rechts aus dem Bild und lässt sich nie wieder im Bild blicken smile

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Hmh, das ist einleuchtend ! Kannst du mir auch noch einen Tip, oder eine geschickte Frage smile

geben, wie ich auf die Bewegungsgleichung komme ?

Und : gibts denn so ein Kraftfeld überhaupt ?

Wie gesagt, für kleine x und z.B. v_0 = 0 wird man das vielleicht , nachdem man die Bewegungsgleichung kennt, durch eine schoene simple Schwingung nähern können. Und die ärgert einen vorher durch die zwei Peaks, oder bin ich da schon wieder irgendwo anders ?

Weiß noch nicht wie ich da rangehen will/soll,
Wenn ich ein Teilchen in der Mulde mit einer Geschwindigkeit v_0 anschubse hat es die Gesamtenergie E_ges=Epot+Ekin=c , wobei ich E_pot ja kenne und ekin = 1/2 mv^2 ist. Gibt es also eine Änderung der potentiellen Energie , so nimmt die kinetische Energie um dE_pot zu. Kann ich das nach v auflösen und integrieren`? Irgendwo im Gedächtnis saust noch Trennung der Variablen rum.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was kennst du denn schon als Standardverfahren, um Bewegungsgleichungen aufzustellen und eine Lösung dieser Bewegungsgleichung zu finden?

Hast du schon die Vorlesung klassische Mechanik gehört und neben dem Ansatz mit der Newtonschen Bewegungsgleichung auch Lagrange I, Lagrange II und Hamilton-Jacobi kennengelernt?

Davon dürfte abhängen, ob du das versuchen möchtest, mit Newton anzugehen (Die Differentialgleichung

lösen, um eine Lösung x(t) zu bekommen) oder lieber zum Beispiel mit Lagrange II da rangehst.

Bastue · Anmeldungsdatum: 08.05.2006 Beiträge: 61

Also so ein richtiges Standartverfahren kenn ich ehrlich gesagt gar nicht , hab im Internet auch nichts davon gelesen, dass es dafür richtige Standartverfahren gibt ! In tm haben wir eigentlich fast nur lagrange 1 gemacht, hamilton gabs nichtmal ne halbe vorlesung ...

Hm Differentialgleichungen haben mich in m3 solange genervt, dass ich die eigentlich lösen koennen sollte, wenn ich sie erstmal hätte...

m*a==-2aU sinh(ax) / ((cosh(ax)^3), das wär eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen , oder ?[/code]

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Wenn du Lagrange 1 schon kannst, dann kannst du dir heraussuchen, welche der beiden Methoden Lagrange 1 oder Newton du zum Aufstellen deiner Bewegungsgleichung nimmst. Ich denke, beides läuft hier schon sehr rasch auf die gleiche DGL hinaus, und Newton liegt hier näher.

Achte beim Aufschreiben der DGL unbedingt darauf, dass du das

nicht mit dem

aus

verwechselst! Also am besten immer nur

schreiben, wenn du die Beschleunigung meinst.

Abgesehen von dem Punkt mit der Schreibweise des a bin ich mit deiner DGL einverstanden, da kannst du also nun loslegen mit DGL-Lösen, gerne mit der Methode, die dir da am vielversprechendsten erscheint smile

Und wenn dann beim Lösen eine Fallunterscheidung zwischen Gesamtenergie größer Null und kleiner Null auftreten sollte, dann ist das ein gutes Zeichen, denn dann stimmt das ja mit dem überein, was du in b) verstanden hast smile