Schwingung durch Erdmittelpunkt

sir_dkay · Anmeldungsdatum: 23.02.2007 Beiträge: 11 Wohnort: Bruchsal

Hallo erstmal,

bin neu hier =)
und ich hab die suchfunktion benutzt! und gesehn dass die aufgabe zwar schonmal beantwortet wurde, aber meiner meinung nach nich korrekt bzw. komplett, deswegen stell ich sie nochmal und füge meinen ansatz dazu..

Info: Wer zu faul ist sich den langen Text durchzulesen, sollte aber bitte mal runterscrollen und mir sagen, ob es eine Lösung für die Differentialgleichung gibt!!

Die Aufgabe lautet: Quer durch den Erdkörper wird ein gerader,durch den Erdmittelpunkt gehender Tunnel gebohrt.Zeigen Sie,dass ein Körper,den man in diesen Tunnel fallen lässt,eine harmonische Schwingung ausführt (Reibungskräfte vernachlässigen) und berechnen Sie die Persiodendauer.(dichte der erde ist überall gleich)
(Hinweis: Im Inneren der Erde zählt für die Gravitationskraft nur die Masse jener Kugel, deren Radius gleich zum gleich der Entfernung des betrachtenden Punktes zum Erdmittelpunkt ist.) Radius Erde: 6370km

Also, da keine reibungskräfte auftreten, muss es sich um eine ungedämpfte schwingung handeln, da die Kinetische Energie komplett in Potentialenergie ( lageenergie) umgewandelt wird und umgekehrt.

Die Gravitationskraft verhält sich innerhalb der Erde (wie im Hinweis erwähnt) auch nicht ~ 1/r²

für die gravitations kraft gilt G = K * m1*m2*R(bezugspunkt)² / r²
K= Gravitationskonstante
Weil zu jedem Punkt r nur die gravitation gilt, die von der Kugel mit dem radius R ausgeht, ist R(bezugspunkt) = r

also G = K *m1*m2

G = K*mE *m2 = g * m2
mE=Masse Erde
würde also auf der erde gelten

so. da die dichte konstant ist, gilt für jede Kugel, dass die Massen sich wie die Volumina verhalten.

Wir brauchen für die Berechnung die masse der inneren Kugel in abhängigkeit von der Zeit t.

also gilt doch m(t) / mE = V(t) / VE
VE= Volumen der erde

also ist doch m(t) = (V(t)/ VE) *mE

V(t) ist r(t)³ * 4/3 * pi (Kugelvolumen)
VE ist Re³* 4/3 * pi

pi und 4/3 kürzen sich raus, also erhalten wir

m(t) = (r(t)³/Re³) * mE

darüber bestimmen wir die Gravitionskraft(t)

G(t) = K*m(t) *m2

m(t) eingesezt

G(t) = K*mE*(r(t)³/Re³) *m2

für K*mE können wir auch g schreiben, da dies die Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche ist.

also erhalten wir

G(t) = g*(r(t)³/Re³)*m2

so. jetz haben wir die Gravitionskraft zum zeitpunkt T auf die masse 2.

die gravitation wirkt entgegensetzt zum richtungsvektor, also ist die resultierende Kraft auf den Körper m2

Fres(t) = - G(t)
m2 * a(t) = - g*(r(t)³/Re³) * m2

a(t) = - (g/Re³) * r(t)³

tragen wir un das ganze in ein Koordinatensystem ein und ersetzen den Weg r (r ist zugleich Radius und Auslenkung) durch x
die beschleunigung ist die 2. ableitung des weges a(t) = x°°(t)

x°°(t) = - (g/Re³) * x(t)³

Schlussendlich bin ich auf diese Differentialgleichung gekommen.

Vergleich mit Feder-Masse-System:

x°°(t) = - (D/m) * x(t)

Problem. ich komme auf keine Lösung....
Gibt es überhaupt eine Lösung, bzw. bin ich nur zu dumm die Differentialgleichung zu lösen oder ist mein Ansatz total falsch??
Außerdem ist das überhaupt eine harmonische Schwingung, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung hoch 3 ist ?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

In deiner Formel für die Gravitationskraft

sir_dkay · Anmeldungsdatum: 23.02.2007 Beiträge: 11 Wohnort: Bruchsal

hmm...würde aber bedeuten, dass sich die gravitation proportional zum radius verhält...
die massen verhalten sich aber zum radius³, also muss die gravitation doch proportional zu den massen sein...

klar ist bei der formel m1*m2/ r² r der abstand der 2 massen, aber der abstand ist ja 0.... das R im zähler ist bewusst eingefügt, denn wenn du die formel G= k*m1*m2 / r² alleine nimmst, bekommst ja für ein körper der sich auf dem Erdradius befindet einen wert <<g raus.. oder irre ich mich da?

ich meine mal gehört zu haben, dass die gravitation sich im erdinnern proportional zum erdradius verhält. dann wäre aber meine gleichung falsch, denn dann wäre a(t) = g/RE) * r(t)....
das lässt sich aber meines erachtens nicht ohne weiteres aus der formel m1*m2/r2 (die zu bestimmung der gravitation für r>0 gedacht ist) nicht herleiten..

€dit: okay
ich gestehe einen denkfehler ein ^^

Mein prof hatte das mal so hergeleitet,
dass

g(r) = gErde * Re² / r²

wobei gErde ja K*mE/Re² is und sich das Re² ja wieder rauskürzt.

Hammer

jedenfalls komme ich mit der korrigierten Version auf ne Schwingungsdauer von 84,4 minuten.
is das realistisch?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

die3.lustigen.4 · Gast

Hallo ich sitze jetzt schon über 4 stunden vor dieser Aufgabe.

Man soll halt die Periodendauer über die Richtgröße D ausrechnen.
Ich habe jetzt gelesen, dass man es mit der Gravitationskraft ausrechnen kann, aber in der Formel wird doch nach 2 Massen gefragt.
Die eine Masse ist die Erde. Aber wie kommt ihr auf die andere? Ich habe sie ja nicht gegeben. Und was ist groß R?

geg: g= 9,81 m/s²
G= 6,67*10^-11 m³/(kg*s²)
r=6371 km
phi=5,52 kg/dm³
m (erde)= 5,95*10^24 kg

Aufgabe: Berechnen Sie allgemein die Richtgröße D und damit die Schwingdauer T.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
mfg