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Resetter
Anmeldungsdatum: 15.07.2005
Beiträge: 45
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 Resetter Verfasst am: 19. Dez 2006 18:51 Titel: Problem mit der Wärmeleitung |
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Servus Jungs Mädels, Monstren und Mutanten 
Ich hab ein kleines Problem bei nem Beispiel:
| Zitat: | Ein "halbunendlicher" Stab ( ), dessen Mantelfläche isoliert ist, besitze eine anfängliche Temperaturverteilung u(x,0)=f(x) und wird zum Zeitpunkt t=0 am Ende x=0 mit einem sehr großen Wärmereservoir der Temperatur u=0 verbunden. Der Wärmeausgleich werde durch die Gleichung
für  , 
beschrieben.
a) Formulieren sie das vorliegende Problem als Rand-Anfangswertproblem
b) Lösen sie dieses Problem
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Gut , ich hab mittlerweile mit einem Produktansat angesetzt und von wegen abklingender Funktion von t meinen Separationsparameter negativ gesetzt - dann kommen aufgrund u(0,t) im X-Term nur sinusterme vor - ich bin mittlerweile so weit:
 )
Mit D einer Konstanten
und Lambda meinem Separationsparameter
Meine kleinen fragen:
1) Stimmts bis dahin? (is ja nicht sonderlich weit)
2) ich finde keine geeignete Superposition von Partikulärlösungen . vielleicht ein kleiner tipp?
Bin für jede Hilfe schwer dankbar (und hoffe dass mein LaTeX nicht zu mies is)
[minimale TeX-Korrektur, para]
_________________
1) Der Inhalt der Physik geht die Physiker an, die Auswirkung alle Menschen
2) Was alle angeht, können nur alle lösen...
Dürrenmatt |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 21. Dez 2006 02:06 Titel: |
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Ich würde hier keine Lösung vermuten, die eine sinusförmige Schwingung enthält.
Bevor du anfängst, einen Ansatz für deine Differentialgleichung zu raten, solltest du (siehe auch die Aufgabenstellung) erst einmal festhalten, was deine Randbedingungen sind: Welche Werte liegen am Rand des Stabes (bei x=0) vor? Was ist die vorgegebene Anfangssituation (zur Zeit t=0)?
Der Ansatz, den du für die Lösung der Differentialgleichung macht, muss sowohl die Differentialgleichung lösen als auch die Randbedingungen erfüllen. Auf was für einen Ansatz kommst du, wenn du das berücksichtigst? |
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Resetter
Anmeldungsdatum: 15.07.2005
Beiträge: 45
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| Resetter Verfasst am: 21. Dez 2006 18:09 Titel: |
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noch immer auf die selben - den sinusförmigen Verlauf nehme ich nicht an, er ergibt sich aus dem Produktansatz zur Lösung dieser DGL
u(0,T)=0 für alle t - das ist die einzige Bedingung die ich hab
achja, und die etwas algemeine:
u(x,t) = f(x) - die mir ja im grunde nicht weiterhilft
Der sinus wäre ja auch in ordnung wenn ich ne zweite Nullstelle hätte - wie bie so ziemlich allen anderen wärmeleitungsbeispielen die ich gefunden hab....
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Dürrenmatt |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 22. Dez 2006 00:49 Titel: |
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Mit deinen Randbedingungen bin ich einverstanden 
Wie kommst du auf die Vermutung, dass sich mit dem Produktansatz, den du da gemacht hast, diese DGL mit den gegebenen Randbedingungen lösen lässt?
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Was kennst du denn sonst schon, was dir hier weiterhelfen könnte? Hast du vielleicht schon mal etwas von einem Wärmeleitungskern gehört? |
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Resetter
Anmeldungsdatum: 15.07.2005
Beiträge: 45
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| Resetter Verfasst am: 23. Dez 2006 11:33 Titel: |
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mir ist zumindest nicht besseres als der Produktansatz eingefallen - in dem Fall
nein - davon hab ich noch nichts gehört - ? ^^
ne weitere Randbedingung die mir einfällt wäre =0) nach hinreichend großer Zeit t (von wegen Unstetige anfangsfunktion)
Das hilft mir aber im Grunde auch nicht weiter
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Dürrenmatt |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Dez 2006 12:43 Titel: |
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Ich habe nun verstanden, dass dein Produktansatz das ist, was ich als Separationsansatz kennengelernt habe.
Also der Ansatz, dass sich die Funktion u(x,t) als ein Produkt von zwei Funktionen darstellen lässt, von denen die eine, X(x), nur vom Ort x abhängt, und die andere, T(t), nur von der Zeit.
 = X(x)\cdot T(t))
Dann komme ich fast auf dasselbe Zwischenergebnis wie du, bis auf eine kleine Vorzeichensache: Da du deinen Separationsparameter lambda negativ gewählt hast, musst du das auch in der Exponentialfunktion berücksichtigen und "e hoch plus lambda" schreiben:
 = D \cdot e^{\lambda t} \cdot \sin(\sqrt{\frac{-\lambda}{\kappa}}x))
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Als nächsten Schritt würde ich vermuten, dass du am besten nun die Randbedingungen verwendest, um genaueres über die Parameter in deiner Zwischenergebnis-Gleichung herauszufinden. (Vielleicht hast du das ja auch schon im wesentlichen gemacht: Mit dem Gesamtoffset deiner Gleichung und der Phase der Sinusfunktion (beide = Null) bin ich schon einverstanden.) Vielleicht hilft dir dabei, zu sehen, wie das in einem ähnlichen Fall, aber mit endlichem Stab und mit anderen Randbedingungen, gemacht wurde:
http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_14/ma_14_04/ma_14_04_01.vlu.html
und die zugehörigen folgenden Seiten (siehe Button "Weiter")
Dass die Überlagerung deiner Lösungen etwas mit Fourierintegralen zu tun haben kann, siehst du ebenfalls dort, auf der dritten Seite unten. |
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