Spezifische Wärme bei allgemeinem polytropen Prozess

daveidix12 · Anmeldungsdatum: 09.05.2024 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ein System mit den zwei Freiheitsgraden T und V erfahre Zustands¨anderungen, die der
Nebenbedingung
F(P, V ) = const.
unterworfen sind, wobei F eine beliebige Funktion von P und V ist. Zeigen Sie, dass sich
die spezifische W¨arme bei konstantem F, cF , als

Meine Ideen:
Ich habe nicht wirklich eine gute Idee wie man hier die differentiale gut umformen kann und bin ziemlich am verzweifeln.

Starbuck · Gast

Ich würde mit der Definition von

und der Fundamentalgleichung anfangen.

daveidix · Anmeldungsdatum: 02.12.2022 Beiträge: 6

Was genau meinst du mit der Definition? Wenn du meinst, dass cF = dQ/dT mit F = const. sein soll und ich den ersten Hauptsatz der Thermodynamik anwenden kann, dann habe ich das schon probiert und komme nicht weiter.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Mit dem 1. Hauptsatz und der Kettenregel kann man die spezifischen Wärmen schreiben als

Beim Nenner kannst Du verwenden, dass

Starbuck · Gast

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Nochmals zum Vorgehen: ich würde die Behauptung etwas umformen (cV auf die linke Seite, Multiplikation mit dem Nenner):

Dann cF-cV von oben einsetzen, ebenfalls die 2. Gleichung von oben. Dann kann man ziemlich viel vereinfachen, und am Ende sollte etwas dastehen, was nichts anderes ist als die Kettenregel für eine Ableitung von V(T,P).

Das Herumrechnen mit partiellen Ableitungen in der TD fand ich nie sehr schön, und was jetzt hier der Erkenntnisgewinn ist, erschliesst sich mir auch nicht ganz. Mathematiker würden wohl ohnehin nur den Kopf schütteln... Aber die Aufgabe will ja gelöst werden.

daveidix · Anmeldungsdatum: 02.12.2022 Beiträge: 6

Erstmal danke für die Antwort. Für mich sit es auch nur ausprobieren und umformen ohne einen wirklichen Sinn, aber die Punkte braucht man ja trotzdem.
Ich gehe davon aus, dass du hier die Annahme über ein abgeschlossenes System gemacht hast? Stimmt das so? Weil ich komme nur auf deine Lösung zur Berechnung von cF im ersten Post, wenn ich Annehme, dass dU = 0.

Dabei ist dF = 0 und , wenn ich dann dV(U,T) bilde und dU = 0, dann komme ich auf deine Lösung.

Bei der Ergänzung des mittleren Terms der Summe von cF muss dieser null sein und ich komme darauf, dass dieser gleich

ist. Ist dass denn wirklich null?

Starbuck · Gast

In deiner ersten Gleichung muss links c_F dT stehen.
dU = 0 braucht nicht zu gelten.
Deine zweite Gleichung ist einfach die Kettenregel

mit

Starbuck · Gast

Druckfehler. Es muss heissen

daveidix · Anmeldungsdatum: 02.12.2022 Beiträge: 6

Wieso wende ich hier die Kettenregel an, wenn es sich nur um eine explizite Ableitung nach T handelt?

Starbuck · Gast

Ich fürchte, ich verstehe die Frage nicht.
Vermutlich habe ich auch dein voriges Posting nicht richtig verstanden.
Ich dachte, du seiest unsicher, ob deine zweite Gleichung gilt.
Wenn ich es nochmal lese, war die Frage wohl eher, ob

ist. Das ist i.a. nicht so.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Man leitet U partiell ab bei konstantem F. Man betrachtet nun U nicht als Funktion von T und F, sondern als Funktion von T und V. V wiederum ist auch eine Funktion von T. Also z.B. U=U(T,V(T,P)).

daveidix · Anmeldungsdatum: 02.12.2022 Beiträge: 6

Ok tut mir leid, dass ich da jetzt noch einmal nachfragen muss. Also ich verstehe schon, dass dann V auch noch einmal eine Funktion abhängig von T sein soll, aber partiell abgeleitet müsste dies meines Wissens nach egal sein und nur für eine totale Ableitung relevant sein.

Ein zweiter Punkt ist, dass ich mich Frage warum V von abhängig ist? Also ich kann U(T,V) umformen, sodass ich V(U,T) erhalte, aber das ist ja hier nicht gemeint oder?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Die partielle Ableitung

gibt an, wie sich U ändert bei einer Änderung von T, wenn gleichzeitig F konstant gehalten wird.
Vielleicht hilft es, sich das grafisch vorzustellen: im (T,V,U)-Raum bildet die Funktion U=U(T,V) eine Fläche. Die Bedingung F(P,V)=const. liefert an jedem Punkt auf der Fläche eine Kurve. Während die Ableitung

angibt, wie sich U bei einer Änderung von T ändert, wenn man sich in Richtung der T-Koordinatenachse bewegt, gibt die partielle Ableitung

an, wie sich U ändert bei einer Änderung von T, wenn man sich entlang der Kurve F=const. bewegt. Dabei ändert i.a. nicht nur T, sondern auch V. Für die gesamte infinitesimale Änderung von U muss deshalb auch der Einfluss von V (multipliziert mit der partiellen Ableitung von V nach T) berücksichtigt werden.

Man könnte das mit der Kettenregel noch etwas weiter treiben: betrachtet man U als Funktion U=U(T,V) und V wiederum als Funktion V=V(T,P), könnte man schreiben

daveidix · Anmeldungsdatum: 02.12.2022 Beiträge: 6

Ok ich habe mich jetzt Mal mit den genannten Bedingungen an eine Lösung gemacht und den Ansatz von oben genommen:

Weiter folgt nach Kettenregel:

Und damit ist zweite Klammer auf der linken Seite nur noch gleich 1.

Nach dem ich cV von cF subtrahiert habe folgt dann:

Weiterhin gilt:

Damit würde dann auch die obige Relation gelten, da

Habe ich einen Fehler in der Herleitung oder stimmt dies?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

In der ersten Gleichung im letzten Beitrag fehlt ein "hoch -1" auf der linken Seite.